Совместные вероятности двух непрерывных распределений

Сценарные спектры можно представлять себе как дискретные распределения. Такой же подход можно использовать и для определения вероятностей для непрерывного распределения, если рассматривать его как дискретное распределение с бесконечно малым шагом квантования (т. е. с бесконечным множеством сценариев).

Например, мы знаем, что центрированная нормально распределенная случайная величина с вероятностью 0,9772 не превышает двух стандартных отклонений, а с вероятностью 0,9986 — трех стандартных отклонений. Если один из сценариев спектра состоит в том, что нормально распределенная случайная величина попадает в пределы от +2 до +3 стандартных отклонений, то мы знаем, что вероятность этого сценария равна 0,0214 (0,9986 — 0,9772). Значит, мы можем определять совместные вероятности для непрерывных распределений. Кроме того, мы можем сделать сценарий таким маленьким, как нам нужно. В упомянутом ранее примере мы можем использовать сценарий, который состоит в том, что нормально распределенная случайная величина попадает в пределы от +2 до +2,1 стандартных отклонений, или между +2 и +2,000001 стандартных отклонений.

Оценка совместных вероятностей

Изложенный метод поквадрантной оценки совместных распределений вероятности при известных безусловных плотностях и коэффициенте корреляции между ними весьма привлекателен. Он точно описывает механизм формирования совместного распределения из компонентных безусловных распределений. Когда мы используем распределение Бернулли (распределение, у которого только два возможных исхода, т. е. сценарные спектры состоят только из двух сценариев), можно получить очень хорошую и простую оценку совместных вероятностей. Но чтобы сделать ее еще точнее, т. е. найти более детальные совместные вероятности, не ограничиваясь на квадрантах, требуется наперед знать коэффициенты корреляции составляющих квадрантов (или наперед знать совместные вероятности, чтобы, обратив формулу, получить коэффициенты корреляции).

При наличии зависимости совместные распределения будут изменяться под влиянием непосредственно предшествующих исходов.

Нередко нам будут известны не все коэффициенты корреляции между двумя сценарными спектрами, и поэтому мы будем вынуждены получить недостающие данные либо эмпирическим путем, либо с помощью оценки.

Если у вас имеются необходимые эмпирические данные, то рассчитать совместные вероятности совсем не сложно. Предположим, например, что вас интересуют совместные вероятности для двух акций — корпораций XYZ и АБС. У вас есть масса различных сценариев ожидаемого поведения цены каждой из них на следующий период владения (а период владения может быть любой единой длины по нашему выбору — это может быть день, два дня, неделя, месяц, год — что угодно). Один из сценариев спектра ABC соответствует подъему цены ее акций на два пункта. У вас также есть сценарий из спектра XYZ, соответствующий падению цены ее акций на полпункта. (Вместо абсолютных величин можно использовать изменения цены в процентах.) С помощью компьютера можно просчитать ценовые данные по обеим этим акциям и подсчитать, в скольких периодах владения акции ABC поднимались на два пункта, а акции XYZ — опускались на полпункта, и поделить полученную величину на общее количество периодов владения анализируемого массива данных. Затем мы можем проделать то же самое для каждой комбинации двух сценариев из наших сценарных спектров. То есть мы бы получили таблицу совместных вероятностей двух сценарных спектров эмпирическим путем.