увеличение времени до остановки

Заметьте, что оптимальное /, доставляющее максимум роста, одинаково для всех конов игры, хотя и является функцией того, как долго вы будете играть. Если вы собираетесь остановиться после первого кона, то оптимальное f максимизирует среднее арифметическое HPR (для игры с положительным математическим ожиданием это /всегда равно 1,0, а игры с отрицательным математическим ожиданием - 0,0). Для игры с положительным математическим ожиданием оптимальное /убывает по мере увеличения времени до остановки (асимптотически убывает для бесконечной игры) и максимизирует среднее геометрическое HPR. Для игры с отрицательным математическим ожиданием оптимальное f всегда остается нулевым.

Однако в течение всей игры значение f которое вы используете для максимизации роста, остается постоянным, и эта постоянная величина зависит (функционально) от того, где вы собираетесь прекратить игру. Если вы играете в орлянку «два-к-одному» и собираетесь остановиться после первого кона, то получите максимальный рост при /= 1,0. Если вы собираетесь остановиться, сыграв два кона, то получите максимальный рост при f = 0,5, как при первом, так и при втором выбрасывании. Заметьте, что, желая максимизировать EACG для остановки после второго кона, вы не ставите все свои деньги (1,0 счета) на первый кон. Аналогичным образом, планируя играть бесконечно долго, вы и на первый, и на все следующие выбрасывания будете ставить по 0,25 счета.

Обращаю ваше внимание на радикальное отличие понятий бесконечно и неограниченно. Все потоки конечны, всем нам суждено в конце концов умереть. Поэтому, когда мы говорим, что оптимальное /максимизирует ожидаемый средний общий итог, то имеем в виду такое f которое максимизирует его при бесконечной игре. На деле, оно слегка отличается от оптимального, ибо никто из нас не сможет играть бесконечно долго. То f которое даст максимум EACG, будет немного больше того, что мы называем оптимальным f а наши позиции — немного крупнее.

А что получится, если мы остановимся, сыграв три кона? Должно ли тогда /, которое максимизирует ожидаемый средний общий рост, быть меньше 0,5 (остановка после двух конов), но все же больше оптимального f = 0,25 для бесконечной игры?

В этом случае наше дерево комбинаций будет следующим:

№ выбрасывания
{1}                      {2}                        {3}

орел

орел

решка

орел

орел

решка

решка орел

орел

решка

решка

орел

решка

решка

{3}

{2}

Преобразуя это дерево в исходы, получим: № выбрасывания

{1}

2

-1

-1

2

-1 2

-1

-1

2

-1

-1

Если мы обратимся к компьютеру и путем перебора найдем значение f которое максимизирует средний общий рост при остановке после трех розыгрышей, то получим f = 0,37868. Преобразуя исходы в HPR при данном значении /, получим:

{2}

{1}

№ выбрасывания

{3}

Теперь мы можем выразить все выбрасывания, следующие за первым, в виде значений TWR с помощью умножения на последующие выбрасывания согласно дереву игры. Число в скобках, стоящее рядом с последним выбрасыванием дерева, — это корень степени и из последнего значения TWR (и равно количеству HPR, или выбрасываний, в данном случае — 2), который является средним геометрическим HPR для конечного узла дерева:

{2}

{1}

3,088329

1,757369

1,09188

1,091875

0,386036

= 1,09283 = EACG

№ выбрасывания

1,757369

0,621316

1,757369

0,621316 1,757369

0,621316

1,757369

0,621316

1,757369

0,621316 1,757369

0,621316

1,757369

0,621316

Если вы хоть чуть сомневаетесь в полученных результатах, то я рекомендую вам перепроверить несколько последних выкладок с карандашом и бумагой или на компьютере и найти значения /, которые дадут EACG, больше представленного. Допустите возможность использования разных f то есть, что f может меняться при каждом выбрасывании. Вы обнаружите, что ваши результаты совпадают с нашими и что величина /постоянна, хотя и зависит от длины игры.