Связь между опционами и базовыми инструментами
Интересно отметить связь между опционами и базовыми
инструментами, используя вышеперечисленные модели ценообразования. Мы знаем,
что 0 является наименьшей ценой опциона, но верхняя цена — это цена самого
базового инструмента. Модели демонстрируют, что теоретическая справедливая
цена опциона приближается к верхнему значению (стоимости базового инструмента U)
при росте любой или всех трех переменных Т, R
или V
Это означает, что если мы, например, увеличим Т
(время до срока истечения опциона) до бесконечно большого значения, тогда цена
опциона будет равна цене базового инструмента. В этой связи мы можем сказать,
что все
базовые инструменты в действительности эквивалентны опционам с бесконечным Т. Таким образом, все сказанное
верно не только для опционов, но и для базовых инструментов, как будто они
являются опционами с бесконечным Т. Модель фондовых опционов Блэка-Шоулса и
модель опционов на фьючерсы Блэка построены на определенных допущениях.
Разработчики этих моделей исходили из трех
утверждений. Несмотря на недостатки этих утверждений, предложенные модели
все-таки довольно точны, и цены опционов будут стремиться к значениям,
полученным из моделей. Первое из этих утверждений состоит в том, что опцион не
может быть исполнен до истечения срока. Это приводит к недооценке опционов американского типа, которые могут исполняться до
истечения срока.
Второе утверждение предполагает, что мы знаем будущую
волатильность базового инструмента, и она будет оставаться постоянной в течение
срока действия опциона. На самом деле это не так (т. е. волатильность изменится). Кроме того, распределение
изменений волатильности логарифмически нормально, и эту проблему модели не
учитывают1. Еще одно допущение модели
состоит в том, что безрисковая процентная ставка остается постоянной в течение
времени действия опциона.
Это также не обязательно. Более того, краткосрочные
ставки логарифмически нормально распределены. То обстоятельство, что, чем выше
краткосрочные ставки, тем выше будут цены опционов, и утверждение относительно
неизменности краткосрочных ставок может привести к еще большей недооценке
опциона по отношению к ожидаемой цене (его правильному арифметическому
математическому ожиданию).
Еще одно утверждение (возможно наиболее важное),
которое может привести к недооценке стоимости опциона, рассчитанной с помощью
модели, по отношению к действительно ожидаемой стоимости, состоит в том, что
логарифмы изменений цены распределяются нормально.
Если бы опционы характеризовались не числом дней до
даты истечения срока, а числом тиков вверх или вниз до истечения, а цена за
один раз могла бы изменяться только на 1 тик и он был бы статистически
независим от предыдущего тика, то мы могли бы допустить существование
нормального распределения. В нашем случае логарифмы изменений цены не имеют
таких характеристик. Тем не менее теоретические справедливые цены, полученные с
помощью моделей, используются профессионалами на рынке.
Даже если некоторые трейдеры применяют модели, которые
отличаются от показанных здесь, большинство из них дадут похожие теоретические
справедливые цены. Когда реальные цены расходятся с теоретическими до такой
степени, что спекулянты могут получить прибыль, цены начинают снова сходиться к
так называемой «теоретической справедливой цене». Тот факт, что мы можем
спрог-нозировать с
Тот факт, что распределение
изменений волатильности логарифмически нормально, не так часто принимается во
внимание. Чрезвычайная чувствительность цен опционов к волатильности базового
инструмента делает покупку опциона (пут-опциона или колл-опциона) еще более
привлекательной в смысле математического ожидания.
достаточной степенью точности, какой будет цена
опциона при наличии различных входных данных (время истечения, цена базового
инструмента и т.д.), позволяет нам произвести расчеты оптимального f
и его побочных продуктов по опционам и смешанным позициям. Читатель должен
помнить, что все эти методы основаны на утверждениях, которые только что были
изложены.
Статья размещена в рубрике: Математическое управление капиталом
|