Справедливая стоимость пут-опциона
Стоимость пут-опциона и стоимость колл-опциона значительно отличаются,
в то время как в традиционных моделях стоимость пут-опциона и колл-опциона
эквивалентна. Этот момент требует некоторого пояснения.
Справедливую стоимость пут-опциона можно найти из цены
колл-опциона с той же ценой исполнения и датой истечения (или наоборот) по
формуле пут-колл паритета:
(5.13) P = C
+ (E-U)*EXP(-R*T),
где Р = справедливая цена пут-опциона; С =
справедливая цена колл-опциона; Е = цена исполнения; U
= текущая цена базового инструмента; R = безрисковая ставка;
Т = доля года, оставшаяся до истечения срока
исполнения, выраженная десятичной дробью.
Когда равенство (5.13) не выполняется, появляется возможность
арбитража. Из (5.13) мы видим, что цены, полученные из традиционных моделей,
эквивалентны, когда Е - U = 0.
Давайте заменим переменную U
в уравнении (5.13) ожидаемой ценой базового инструмента на дату истечения срока
опциона. Ожидаемая стоимость базового инструмента может быть определена с
помощью уравнения (5.10) с учетом того, что в этом случае а. просто равно i.
В нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость
базового инструмента равна 101,288467. Это происходит потому, что минимальная
цена инструмента равна 0, в то время как ограничения цены сверху не существует.
Движение цены со 100 до 50 так же вероятно, как и
движение со 100 до 200. Следовательно, стоимость колл-опционов будет выше, чем
стоимость пут-опционов. Неудивительно, что ожидаемая стоимость базового
инструмента на дату истечения должна быть больше, чем его текущая цена, — это
вполне согласуется с предположением об инфляции. Когда в уравнении (5.13) мы
заменим значение U (текущую цену базового
инструмента) на значение ожидаемой стоимости на дату истечения, мы сможем
рассчитать справедливую стоимость пут-опциона:
Р = 3,842 + (100 -
101,288467) * ЕХР(-0,05 * 33/260,8875) = 3,842+-1,288467 *ЕХР(-0,006324565186)
= 3,842 + -1,288467 * 0,9936954 = 3,842 + 1,280343731
=2,561656269
Это значение согласуется со стоимостью пут-опциона, полученной из
уравнения
(5.11).
Остается одна проблема: если пут-опционы и
колл-опционы с одной ценой исполнения и сроком истечения оценены согласно
уравнению (5.11), тогда существует возможность арбитража. На самом деле LJ
в (5.13) является текущей ценой базового инструмента, а не ожидаемым значением
базового инструмента на дату истечения. Другими словами, если текущая цена
равна 100 и декабрьский колл-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит
3,842, а пут-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 2,561656269, то
существует возможность арбитража, исходя из (5.13).
Статья размещена в рубрике: Математическое управление капиталом
|