поиск значений Х

Нашей целью является поиск значений Х (причем их сумма равна единице), которые дают наименьшее значение V для определенного значения Е. Максимизировать (или минимизировать) функцию Н(Х, Y) при наличии условия или ограничения G(X, Y) можно с помощью метода Лагранжа. Для этого зададим функцию Лагранжа F(X, Y, L):

(6.07)   F(X,Y,L) = H(X,Y) + L * G(X,Y)

Обратите внимание на форму уравнения (6.07). Новая функция F(X,Y,L) равна множителю Лагранжа L (его значение мы пока не знаем), умноженному на ограничительную функцию G(X,Y), плюс первоначальная функция H(X,Y), экстремум которой мы и хотим найти.

Решение этой системы из трех уравнений даст точки (X1Y1) относительного экстремума:

FxX,Y,L) = О Fy(X,Y,L) = О Fl(X,Y,L) = О

Допустим, мы хотим максимизировать произведение двух чисел при условии, что их сумма равна 20. Пусть Х и Y два числа. Таким образом, H(X,Y) = Х * Y является функцией, которая должна быть максимизирована при наличии ограничительной функции G(X,Y) = Х + Y - 20 = 0. Зададим функцию Лагранжа:

F(X,Y,L) = Х * Y + L * (X + Y- 20) Fx(X,Y,L)=Y+L Fy(X,Y,L)=X+L FL(X,Y,L)= X +Y-20

Теперь приравняем FA(X,Y,L) и Fy(X,Y,L) нулю и решим каждое из них для получения L:

Y+L=0 Y=-L и X+L=0 X=-L

Теперь, приняв FL(X,Y,L) = 0, мы получим Х + Y - 20 = 0. Наконец, заменим Х и Y эквивалентными выражениями, содержащими L:

(-L) + (-L) - 20 = О 2 * -L - 20 L=-10

Так как Y = -L, то Y = 10 и Х = 10. Максимальное произведение: 10*10= 100. Метод множителей Лагранжа был продемонстрирован для двух переменных и одной 01 раничительной функции. Метод можно также применять, когда есть более чем две переменные и более чем одна ограничительная функция. Далее для примера следует форма для поиска экстремума, когда есть три переменные и две ограничительные функции:

(6.08)       Р(Х,?,г,Ц,Ц) = H(X,Y,Z) + L, * G,(X,Y,Z) + Ц * G2(X,Y,Z)

В этом случае, чтобы определить точки относительных экстремумов, вам надо решить систему из пяти уравнений с пятью неизвестными. Позже мы покажем, как это сделать.

Сформулируем проблему несколько иначе: необходимо минимизировать V, т.е. дисперсию всего портфеля, с учетом двух следующих ограничений:

(6.09)       (?х,*и;)-Е = 0

(6.10)       (?х;)-1 = 0,

i=l

где    N= число ценных бумаг, составляющих портфель; Е = ожидаемая прибыль портфеля; Х = процентный вес ценной бумаги i;

U. = ожидаемая прибыль ценной бумаги i.

Минимизация ограниченной функции многих переменных может быть проведена путем введения множителей Лагранжа и частного дифференцирования по каждой переменной. Поэтому мы сформулируем поставленную задачу в терминах функции Лагранжа, которую назовем Т:

N                          N

(6.11)     T = V +Ц*((?*,* II)-Е) + Ц*((Х>У- О,

i=i                          /=i

где   V= дисперсия ожидаемых прибылей портфеля из уравнения (6.06);

N = число ценных бумаг, составляющих портфель;

Е = ожидаемая прибыль портфеля; X. = процентный вес ценной бумаги i;

U. = ожидаемая прибыль ценной бумаги i;

L, = первый множитель Лагранжа;

L = второй множитель Лагранжа.

Мы получим портфель с минимальной дисперсией (т.е. минимальным риском), приравняв к нулю частные производные функции Т по всем переменньм.

Давайте снова вернемся к нашим четырем инвестициям: Toxico, Incubeast Corp., LA Garb и сберегательному счету. Если мы возьмем первую частную производную Т по Х1, то получим:

(6.12)     8Т/SX, = 2 * X, * COV, , +2*X2*COV, 2 + 2*X3*COV, з +

+ 2*X4*COV14 + L,*U, +L2 Приравняв это выражение нулю и разделив обе части уравнения на 2, получим: X, * COV, , + Х, * COV, 2 + X3 * COV, з + + X * COV, . + 0,5 * L, * U, + 0,5 * L = 0

4        1,4     '            11' 2

Таким же образом:

5T/5X2 = X, *COV2 , + Х2*СОУ2 2 +X3*COV2 з +X4*COV2 4 +

+ 0,5 * Lj * U2 + 0,5 * L2 = 0

8T / 5X3 = Xt * COV3 j + X, * COV3 2 + X3 * COV3 з + X4 * COV3 4 +

+ 0,5 * L, * U3 + 0,5 * L2 = 0

8T / 8X4 = X, * COV4 , + X, * COV4 2 + X3 * COV4 3 + X4 * COV4 4 +

+ 0,5 * L, * U4 + 0,5 * L, = 0

У нас уже есть 5Т / 8L,, поскольку это уравнение (6.09), и 8Т / 5L2 — это уравнение (6.10).

Таким образом, проблему минимизации V при данном Е для портфеля с N компонентами можно решить с помощью системы N + 2 уравнений с N + 2 неизвестными. Для случая с четырьмя компонентами обобщенная форма будет иметь следующий вид:

X, *U1 + X2*U2 + X3*U3 + X4*U4=E Х,+Х2 + Х3 + Х4=1

X, * COV, , + X, * COV, 2 + x3 * COV, з + х4 * COV, 4 + + 0,5 * L, * U, + 0,5 * L2 = 0

X! * cov2, + хг * cov2 3+х3 * cov2 з+x4 * cov2 4 +

+ 0,5 * L, * U2 + 0,5 * L, = 0

x,*cov3 , + x2*cov3 г+Хз*С0Уэ 3+x4*cov3 < +

+ 0,5 * L, * U3 + 0,5 * L2 = 0

x,*cov , + X.*COV.. + X *cov4 ,+x *со\л.+

I        4, I   2.     Ayl  i        44 J  A      4T 4

+ 0,5 * L, * U4 + 0,5 * Ц = 0,

где Е = ожидаемая прибыль портфеля;

Х; = процентный вес ценной бумаги i;

Ui = ожидаемая прибыль по ценной бумаге i;

COV а Б = ковариация между ценными бумагами А и Б;

L1 = первый множитель Лагранжа;

12 = второй множитель Лагранжа.

Обобщенную форму можно использовать для любого числа компонентов. Например, если речь идет о трех компонентах (т. е. N = 3), система уравнений будет выглядеть следующим образом:

X, *U, + X2*U2 + X3*U3=E

Xj + Xj+Xj^I

X, * COV, , + X, * COV, 2 + Х3 * COV, 3 + 0,5 * L, * U,+ + 0,5*Ц=0

X, * COV2 , + X, * COV2 2+ Х3 * COV2 3+ 0,5 * L, * U2 + + 0,5*L2=0

X, * COV3 , + X, * COV3 2 + X3 * COV3 з + 0,5 * L, * U3 + + 0,5*L2=0

Прежде чем решать систему уравнений, необходимо задать уровень ожидаемой прибыли Е. Решением будет комбинация весов, которая даст искомое Е при наименьшей дисперсии. После того как вы определитесь с выбором Е, у вас будут все входные переменные, необходимые для построения матрицы коэффициентов. Переменная Е в правой части первого уравнения — это значение прибыли. для которой вы хотите определить комбинацию ценных бумаг в портфеле. Первое уравнение говорит о том, что сумма всех ожидаемых прибылей, умноженных на соответствующие веса, должна равняться заданному Е. Второе уравнение отражает тот факт, что сумма весов должна быть равна 1. Была показана матрица для случая с тремя ценными бумагами, но вы можете использовать обобщенную форму для N ценных бумаг.