Американские опционы, опционы на фьючерсы, валюты, сырье, акции и облигации
ОПЦИОНЫ АМЕРИКАНСКОГО СТИЛЯ
В отличие от европейского опциона, который может быть исполнен лишь в конце своего срока действия, американский опцион может быть исполнен в любой момент на протяжении этого срока.
Один из способов оценки американских опционов заключается в использовании для этого биномиальных деревьев. Рассмотрим метод на примере вычисления цены американского кол-опциона на бездивидендную акцию.
Период действия опциона разобьем на малые отрезки времени длины dT Предположим, что на каждом таком отрезке цена акции может от своего начального значения S либо с вероятностью р вырасти до Su, u>l, либо с вероятностью 1 - р упасть до Sd, d < l. Предположим также, что u=l / d, т.е. последовательные движения цены акции сперва вверх, а затем вниз компенсируют друг друга.
Значения и и р определяются из вероятностных соображений. В модели Блэка-Шолца цена акции в момент времени t + dT S(t + dT) есть логнормальная случайная величина с параметрами (InS + (г - а2/ 2) X dT, axVdT )' гДе S — цена акции в момент t. Исходя из этого можно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины S(t + dT), которые оказываются равными S X erXdT и S2 X e2rXdT(e° xdT- 1) соответственно.
В рассматриваемой нами модели S(t+dT) представляет собой дискретную случайную величину, с вероятностью р равную Su и с вероятностью 1 - р равную Sd (ее математическое ожидание есть pSu + (1 - p)Sd, а дисперсия pS2u2+ [(1 - p)S2d2- S2(pu + (1 - p)d)]. Чтобы такое приближение было наиболее точным, нужно, чтобы у этих двух случайных величин — дискретной и логнормальной совпадали математические ожидания и дисперсии. В таком случае для u, p и d с большой степенью точности выполняются равенства
Зная значения и и d, можно построить дерево, описывающее возможную динамику цены акции на период действия опциона.
В нулевой вершине стоит цена акции в начальный момент времени — S, i-ый ярус дерева соответствует моменту времени i X dT и содержит i+1 возможную цену акции в этот момент S X u* X d'~J , j = 0..i. Для вычисления цены опциона осуществляется процедура «спуска» по дереву от последнего яруса к нулевому, т.е. от момента исполнения к начальному моменту времени.
В вершинах последнего яруса записаны цены акции в момент исполнения опциона, из которых легко получить стоимость опциона в момент исполнения по формуле max[(S(T) - К)]. Зная цену опциона на (s + 1)-ом ярусе, можно найти его цену на s-ом ярусе, т.е. в предыдущий момент времени. Продемонстрируем это на примере.
Пусть уже вычислена цена опциона в точках Suu и Sud — X и Y соответственно. В точке Su у покупателя опциона есть две возможности: либо немедленно исполнить опцион и получить прибыль A=max(Su - К,0), либо не исполнять его, и тогда через время dT с вероятностью р он будет стоить X и с вероятностью (1 - р) - Y, а значит дисконтированная на текущий момент времени средняя ожидаемая стоимость есть B=e~rXdT X (р X Х+(1 - р) X Y). Поскольку покупатель опциона стремится максимизировать свою прибыль, он, разумеется, выберет наиболее выгодный из этих вариантов, поэтому цена опциона в точке Su будет равна тах(А,В).
Двигаясь от яруса к ярусу по этому алгоритму, мы в конечном итоге найдем интересующую нас цену опциона в начальный момент времени.
На практике для установления точной цены достаточно 19-21 итераций (ветвей дерева). Дальнейшие итерации незначительно уточняют цену, но замедляют расчеты.
Опционы на валюту
Опционы на фьючерсы
Сравнительная таблица формул опционов на акции, облигации, драгоценные металлы, нефть, базовые металлы
