Вторая теорема о возвращении

Вторая теорема о возвращении показывает, что длина волны при возвращении точки случайного блуждания в начало координат будет возрастать пропорционально корню квадратному из числа испытаний (2г*/^), где 2г — длина данной серии.

В качестве примера у В. Феллера приведены результаты серий из 6000 испытаний. При этом зафиксировано, что длина первой волны приблизительно 1000, второй — 2000 и третьей — 3000 шагов (см. рисунок)*.

По таблице нормальной функции распределения можно найти, что вероятность того, что произойдет не более 0,6745 х (2г)05 возвращений в ноль, близка к 0,5**.

Тогда можно посчитать, что, например, для 10 000 испытаний с вероятностью 0,5 произойдет не более 68 ничьих. Учитывая, что только полови на приведет к смене лидерства (поскольку вероятность 0,5), средняя дли на волны между последовательными изменениями лидерства составит примерно 300 шагов (в какой-то конкретной серии испытаний эта цифра, естественно, может быть иной).

Теоремы о возвращении точки блуждания в начало координат доказывают, что существуют два наиболее вероятных сценария развития событий при случайном блуждании. Один из них — ни одного возвращения. Другой сценарий, который является столь же вероятным, — это возникновение волновой конфигурации движения.

В этой связи возникает еще один вопрос: о расположении максимумов. Представление об этом позволит формулировать ожидания, обоснованны ми соответствующими вероятностными оценками.

Второй закон арксинуса: положение максимумов. Вспомним две совершенно противоречивые народные мудрости: новичкам везет и первый блин — комом. Оказывается, что народ по-своему сформулировал вторую теорему арксинуса.

Оставляя за рамками нашего рассмотрения сложные расчеты, отметим только, что, согласно этому закону арксинуса, существует сильная тенденция к расположению максимумов вблизи начальной или конечной точек пути блуждания.

Однако народ это подметил гораздо раньше ученых мужей и отразил в своих мудрых поговорках.

Сценарий первого блина выражен в законе бутерброда (он же закон подлости). Слышится он и в поговорке: Что ни начну, все неудача.

С другой стороны, очевидно, что именно данный закон послужил основой и для такого народного наблюдения: новичкам везет, и неладно, да удачливо, за что ни возьмется, все ему удается.

Правда, так получается не у всех, а только у самых удачливых игроков. Иначе говоря, везет тем, кого случай везет. А всем остальным новичкам гарантирован первый блин комом.

Впрочем, всегда есть место для надежд на то, что со временем все образуется.

Второй закон арксинуса говорит о том, что одним новичкам «непременно повезет». Зато у других «первый блин» обязательно будет «комом».

Безусловно, в каждой отдельной серии испытаний конфигурация волны может быть различной, но тренды и волны следует воспринимать как наиболее вероятное развитие событий.