вероятность разорения для того, кому успех обеспечен по математическому ожиданию

Опуская математические выкладки, отметим, что при неизменности начального капитала постепенное увеличение ставки приводит к уменьшению вероятности разорения обреченного игрока. Соответственно, вероятность разорения для того, кому успех обеспечен по математическому ожиданию, увеличивается.

Это правило можно сформулировать так:

* в повторяющейся игре с постоянной ставкой вероятность разорения игрока будет минимальной при выборе такой ставки, которая была совместимой с суммой желаемого
выигрыша.

При неизменности начального капитала и повторяющейся игре с постоянной ставкой вероятность разорения будет минимальной при выборе такой ставки, которая была бы совместимой с суммой желаемого выигрыша.

Пример 2. Рассмотрим ту же невыгодную игровую ситуацию, при которой q = 0,55, р = 0,45. И пусть z = 90, a w = 100 условных единиц.

Если при каждом испытании ставка будет равной одной условной единице, то вероятность разорения, действительно, составит почти предельную величину:

Но если увеличить ставку до максимально возможного значения (при заданных условиях оно равно w - г = 100 - 90 = 10), то столь неблагоприятный прогноз меняется кардинально. И хотя математическое ожидание выигрыша остается тем же, вероятность разорения составит всего лишь 0,210, а выигрыша — возрастет до 0,790.

Как видим, несмотря на неблагоприятное соотношения р и q , у обреченного игрока есть значительные шансы выйти победителем в какой-то из попыток.

Разумеется, эту победу можно сохранить лишь тогда, когда игрок имеет право тут же раскланяться и удалиться подальше от места игры.

2. По существу, близкие к этим результаты можно получить и для испытаний с идеальной монетой ( q = p ).

Правда, вышеприведенная формула оценки вероятности разорения здесь не годится. Выведена более простая:

где ( w - z ) > 0 — чистый выигрыш. Тогда вероятность такого исхода:

Если исследовать зависимость функции Q ( z / w ) от соотношения переменных z и w , то обнаруживается следующее (см. рисунок 13).

При некотором заданном постоянном значении z ( z = const ) вероятность разорения уменьшается по мере изменения величины w в сторону сближения с z . И вероятность разорения достигает минимальных значений, когда величины w и z становятся сравнимыми ( z ~ w ).

Это правило можно сформулировать таким образом:

• вероятность разорения в игре с постоянной ставкой становится минимальной при малом в сравнении с исходным капиталом z

выигрыше как цели игры и максимально приближенной к чистому выигрышу ( w - z ) ставке.

При р = q вероятность разорения Q становится минимальной, а выигрыша Р — максимальной при двух условиях: 1) минимальная цель выигрыша; 2) максимальная ставка.

Пример 3. (это условия примера 2, но только для значения q = p ). При ставке, равной 0,lz, получим, что:

И тогда вероятность разорения

А вероятность выигрыша