Foreign Exchange Operations - Нелинейность цен опциона колл и процесс усреднения

Оглавление >>> Покупка и продажа волатильности

Цифры, представленные в Таблице 3.8 и используемые для составления графика, который дан на Рисунке 3.2, являются результатом простой арифметики. Каждое среднее значение, или справедливая стоимость, определены процессом усреднения 11 цифр. Рассмотрим процесс усреднения заново. Начнем с того, что текущая цена акции равна $100, и среднее значение в Таблице 3.5 вычисляется следующим образом:

6 нулевых + 5 ненулевых

Среднее значение акции при цене 100$ = 0+0+0+0+0+0+1+2+3+4+5/11 = 15/11= 1,36

Далее в ситуации, где цена акции равна $101, новое среднее значение считается так:

5 нулевых + 6 ненулевых

Среднее значение акции при цене 101$ = 0+0+0+0+0+0+1+2+3+4+5+6/11 = 21/11= 1,91

В обеих дробях в числителе сумма из 11 чисел. Разница между первой и второй суммой состоит в том, что появилось число 6 и пропал ноль. Это означает, что сумма увеличилась на 6, или — среднее значение увеличилось на 6/11, то есть на 0,55, составив 1,91.

Ищем следующее среднее значение, принимая во внимание, что цена акции составляет уже $102:

4 нулевых + 7 ненулевых

Среднее значение при цене акции $102 = 0+0+0+0+0+0+1+2+3+4+5+6+7/11 = 28/11= 2,25

Разница между второй и третьей суммой — это появившаяся 7 и пропавший ноль. Это означает, что сумма увеличилась еще на 7 или что среднее значение увеличилось на 7/11, или на 0,64, составив 2,55.

Мы могли бы продолжить этот процесс, последовательно рассматривая растущие цены. Каждый раз сумма определялась бы отбрасыванием одного нуля и прибавлением одной цифры. Прибавляемая цифра тоже увеличивалась бы на одну единицу. В результате сумма увеличивается, причем нелинейным образом. При каждом шаге сумма увеличивалась бы еще на одну единицу. Так как сумма увеличивается по строго возрастающему пути, то и результирующее среднее значение увеличивается также. Именно поэтому мы имеем кривую линию. Причина этого — нули. В Таблице 3.9 расписан весь процесс усреднения.

Заметьте, что как только текущая цена акции поднимается выше уровня в $105, суммы (а следовательно, и среднее значение) начинают вести себя по-разному. После того, как достигается цена $105, нулей больше не появляется. Выше отметки $105 каждая новая сумма продолжает увеличиваться за счет добавляемой цифры, но цифра, которая вычитается из суммы, уже не ноль. Каждая исключаемая цифра всегда на 11 единиц меньше добавляемой цифры. Соответственно, сумма увеличивается на постоянное число, равное 11, поэтому среднее значение увеличивается на 1. Выше цены $105 степень увеличения средней величины остается постоянной. На графике строго возрастающая кривая выравнивается в прямую линию.

При рассмотрении цен на более низких уровнях ситуация прямо противоположна. Количество нулей, входящих в состав суммы, увеличивается до тех пор, пока все цифры не заменятся нулями. Ниже цены $96 за акцию суммы, а следовательно, и средние значения постоянно находятся на нуле.
Подробный процесс усреднения

Особенности, которые демонстрирует справедливая стоимость опциона, являются прямым результатом процесса усреднения. Когда возможные результаты имеют асимметричное распределение, средние значения вырисовывают кривую линию. Все результаты, полученные нами выше, были равновозможны, поэтому расчеты оказались несложными. Однако можно доказать, что, какой бы тип распределения ни имели различные вероятностные результаты, асимметрия всегда будет вычерчивать кривую ценового профиля с очень похожими характеристиками. Это означает возможность графически изобразить более реалистичное распределение цены акции, а также получить более точное описание профиля цены опциона.

Продолжение >>> Справедливая стоимость опционов колл с дальней датой истечения

Главная Софт Литература Читайте на сайте Советы новичкам Контакты