Расчет математического ожидания

К счастью, обычная формула для расчета ожидания является аддитивной. Таким образом, формула (6.1) может быть преобразована в следующую формулу:

Знак суммы указывает на то, что эта формула аддитивна. Другими словами, вы можете сложить все положительные ожидания (то есть все выигрышные шары), а затем все отрицательные ожидания (то есть проигрышные шары). Затем вы можете вычесть все отрицательные ожидания из суммы положительных ожиданий и получить таким образом итоговое ожидание для игры.

Давайте пройдем через этот процесс шаг за шагом. Сначала вычислим все произведения PWxAW цля всех выигрывающих шаров, а затем сложим их:

1.Длязеленых:Р"/-0,2,аЛи'- 1;поэтому (Р"/хЛ"/)-0,2х 1 -0,2.

2. Для белых: PW= 0,1, a A W- 5; поэтому (PWxAW) - 0,1 х 5 = 0,5.

3. Для желтых: PW=0,03, a A W= 10; поэтому (PWx AW) = 0,03 х 10 - 0,3.

4. Для прозрачных: PW - 0,03, a AW = 20; поэтому (PW х AW) -- 0,03 х 20 = 0,6.

Теперь давайте сложим их: 0,2 + 0,5 + 0,3 + 0,6 = 1,6. Мы получили сумму всех положительных ожиданий в игре.

Во-вторых, посчитаем произведения PL х AL — отрицательные ожидания —для всех проигрывающих шаров и сложим их:

1. Для черных: PL - 0.5, a AL - 1; поэтому PLxAL = 0,5 х 1 - 0,5.

2. Для голубых: PL - 0,1, a AL - 2; поэтому PL х AL - 0,1 х 2 - 0,2.

3. Для красных: PL - 0,04, a AL - 3; поэтому PLxAL' 0,04 х 3 - 0,12. Сложив их, получим: 0,5 + 0,2 + 0,12 - 0,82. Это сумма всех отрицательных ожиданий игры.

И наконец, общее ожидание для игры равно разности этих двух сумм. Мы найдем эту разность, вычтя сумму отрицательных ожиданий (0,82) из суммы положительных ожиданий (1,6). Ответ равен 0,78. Таким образом, в этой игре в результате многих извлечений шаров вы можете ожидать выигрыша, равного 78 центам на каждый вложенный в игру доллар или на каждый доллар риска. Отметим, что эта игра почти в четыре раза более прибыльна, чем первая игра.

На этих двух примерах вы должны были научиться двум важным вещам. Большинство людей стремится к торговым играм, имеющим высокую вероятность выигрыша. Однако в первой игре у вас был 60-процентый шанс выиграть, а ожидание выигрыша при этом составляло только 20 центов на доллар риска. Во второй игре вы имели только 36-процентный шанс выигрыша, но ожидание выигрыша равнялось 78 центам. Таким образом, вторая игра почти в четыре раза более выгодна для вас, чем первая — при том же факторе случайности. Учтите, что ключевым фактором в вашей системе является не вероятность выигрыша. Напротив, ключевым фактором, определяющим ценность вашей системы, является ожидание (выигрыша) на доллар риска.

Здесь будет важно вставить слова предостережения. Переменные 5 и 6 критически важны для выгодности вашей системы. Вы можете понять ваше ожидание за длительный срок только в том случае, если вы мудро определите размер вашей позиции в соответствии с величиной вашего капитала. Установление размера позиции — это та часть вашей системы, которая говорит вам, сколько поставить (какой суммой вы можете рискнуть в расчете) на одну позицию. Это критическая часть всей вашей системы, и мы ее подробно обсудим в главе 12.

Но давайте просто рассмотрим один пример, чтобы увидеть, как определение размера позиции и ожидание совместно влияют на результат игры. Предположим, что вы играете в первую игру, то есть в 60-процентную игру с выниманием шаров. Вы имеете сумму S100 и начинаете игру. Допустим, что, начиная игру, вы при первом извлечении шара рискуете всеми своими 100 долларами. Вы имеете 40-процентную вероятность проигрыша, но случилось так, что вы вытянули черный шар. Такое может случиться, и если это произойдет, вы поте-рясте всю свою ставку. Иначе говоря, размер вашей позиции (то есть ставка в игре) был слишком велик по сравнению с величиной вашего капитала, чтобы игра была безопасной для вас. Вы не можете играть дальше, потому что у вас не осталось больше денег. Поэтому в данной игре вы нс можете реализовать ожидание в 20 центов на доллар риска в течение длительного периода.