Применение задачи о разорении

Исходные условия. При рациональном подходе к управлению случаем используются не надежды на лучшее, а расчет, при котором исчисленная выгодность принимаемых решений имеет математическое обоснование. Ожидания результата не вообще, а в конкретной ситуации построены здесь целиком на логике применения действующих законов, принципов, методов.

Одним из важнейших расчетов для применения в рациональном управлении случаем являются оценки, полученные при решении классической задачи теории вероятностей о разорении в биномиальной модели.

Прикладное значение для нас имеют, прежде всего, выводы по таким показателям, как:

•       вероятность достижения цели (выигрыша) или разорения;

•       математическое ожидание выигрыша;

•       средняя продолжительность игры до выигрыша или разорения.

Исходные условия данной задачи формулируются следующим образом*:

•       проводится серия игровых испытаний до победы или разорения при исходном капитале, составляющем z условных единиц;

•       победная цель составляет w условных единиц ( w - z является чистым выигрышем), после чего игра считается завершенной;

•       первая игра (а также каждая последующая) с вероятностью р приводит к прибыли, равной +1 условной единице капитала (тогда итоговая сумма становится z + 1), или с вероятностью q к убытку, равному -1 ( z -1);

•       разорение определяется как нулевое состояние начального капитала z = 0.

Классическая задача о разорении формулируется при условии игры до «победы» (достижение цели w) или поражения (начальный капитал Z = 0). При любом из этих исходов игра прекращается.

Иногда игровую биномиальную модель удобно интерпретировать как противостояние двух игроков (трейдер и рынок). Тогда для удовлетворения исходных условий необходимо исходить из того, что начальный капитал одного них (трейдера) составляет z , а другого (рынка) w - z .

Вероятность разорения/достижения. Приведем без вывода две общие формулы оценки вероятности разорения и достижения (выигрыша) для разных соотношений исходных вероятностей q и р.

1. Когда q не равно р (т. е. q <рили q > p ), верна формула

где р — вероятность успеха, прибыль от которого в каждом отдельном испытании равна +1;

q — вероятность неудачи, убыток от которой в каждом отдельном испытании равен -1.

Q ( z = 0) — вероятность разорения, наступающего тогда, когда начальный капитал ( z ) становится равным 0; P ( w ) = 1 - Q ( z = 0) — вероятность достижения цели: увеличение начального капитала ( z ) до величины w .

Пример 1. Игрок имеет 99 условных единиц начального капитала, а вероятности исходов в каждом испытании составляют соответственно: q = 0,55 и р - 0,45. Иначе говоря, вероятность неудачи несколько выше, чем успеха.

Тем не менее, оказывается, что если в качестве цели поставить получение выигрыша лишь одной условной единицы капитала, то вероятность добиться успеха в этом составляет:

Данный пример иллюстрирует общее правило:

·        чем больше начальный капитал игрока, тем значительнее шансы выиграть малую сумму до того, как он разорится.

Даже при неблагоприятной вероятности «успеха» в каждом отдельном испытании шансы у игрока выиграть малую сумму, до того как он разорится, могут быть значительными. И они тем выше, чем больше начальный капитал.

В этой связи интерес представляет более детальная оценка изменения вероятности разорения в зависимости от постепенного увеличения ставки в неблагоприятных условиях ( q > р).