Дисперсия и стандартное отклонение

 Возможный в ограниченных сериях испытаний разброс текущих результатов вокруг ожидаемого значения характеризуется с помощью таких понятий, как дисперсия и стандартное отклонение.

Для их понимания необходимо ввести другое важное определение: квадратичное отклонение случайной величины. Это квадрат разницы между средним значением к( ср) и тем, что наблюдается в конкретном эксперименте к, т.е. [(к(ср) - к]2.

Квадратичное отклонение - это квадрат разницы между ожиданием и реальным результатом.

Так, если к( ср) = 5, а в ходе какой-то серии испытаний было получено толь ко 3 успеха, то квадратичное отклонение будет равно:

В других сериях квадратичные отклонения могут быть иными. Тогда можно рассчитать среднее квадратичное отклонение: просуммировать все квадратичные отклонения и разделить на число проведенных серий испытаний.

Это среднее квадратичное отклонение случайной величины обозначается как s 2 и называется дисперсией.

Дисперсия — это среднее квадратичное отклонение случайной величины от математического ожидания.

Если из дисперсии извлечь квадратный корень, то получим «стандартное отклонение» s.

Стандартное отклонение - это корень квадратный, извлеченный из дисперсии.

Теперь можно представить процедуру вычисления эмпирического значения дисперсии и стандартного отклонения.

Пусть, например, было проведено N серий испытаний с монетой, которые дали соответственно kO , ki , к 2 , кЗ ... кг успехов в каждой. Тогда сред нее число к( ср) по всем сериям:

Для вычисления дисперсии, или среднего квадратичного отклонения, s 2 сумма квадратов отклонений от этого среднего складываются, и результат делится на N :

Стандартное отклонение, которое получается по экспериментальным данным, можно сравнивать с некими теоретическими значениями и на этом основании делать вывод, скажем, о соответствии монеты, примененной в эксперименте, идеальной.

Для биномиального распределения формула принимает вид:

При р = q = 0,5 (идеальная монета):

Для этой модели при серии, скажем, г = 100 испытаний стандартное отклонение s = 100 / 4 = 25. Поскольку наиболее вероятное число успехов к( ср) = 50, то можно ожидать, что колебание успешных испытаний от серии к серии будет происходить примерно в пределах между 25 и 75.

В этой связи возникает важный вопрос о том, насколько и как часто могут отклоняться экспериментальные результаты от тех, которые являются наиболее вероятными?

Для ответа на этот вопрос необходимо знать тот закономерный профиль, каким распределяются случайные результаты в ходе испытаний при определенных исходных условиях.