Комбинаторный анализ

 Основные понятия комбинаторного анализа, которые нам необходимы, — это выборка и сочетание.

Представим совокупность каких-то двух видов элементов, случайно перемешанных в неизвестном соотношении. Это могут быть либо орел и решка, либо сигнал сработал и не сработал, либо успех и неудача. Такая совокупность, которая может быть бесконечной по величине, называется генеральной.

Если последовательно г раз запускать руку в эту совокупность и случайным образом вытаскивать оттуда по одному элементу, то в результате получим какой-то набор орлов и решек. Его и называют выборкой.

Примем, что порядковый номер результата выбора не имеет значения. Для нас важно соотношение возможных исходов: побед и поражений.

Тогда сделаем первое несложное вычисление: если орлов окажется к, то решек соответственно должно быть (г- к). Иначе говоря, при г попытках применения сигнала и к успехах, будет соответственно г - к неудач.

Очевидно, что оба эти элемента (исходы) могут располагаться в различных комбинациях. Например, орел, решка , решка, орел и т.д. О каждом таком возможном варианте расположения к орлов и (г - к) решек принято говорить как о сочетании.

Из совокупности различных элементов можно делать случайные выборки, в которых имеющиеся элементы будут сочетаться тем или иным образом.

Количество комбинаций C ( k / r ), которыми к орлов могут сочетаться с (г - к) решками, так просто уже не вычислишь. Для этого выведена следующая формула:

Например, для выборки г = 6 и при условии, что элементы орел и решка представлены по 3 каждый:

Это теоретически возможное количество сочетаний, какими складывается, например, равное число успехов и неудач в ряду из 6 операций трейдера.

В этой связи интересным для нас является вопрос: сколько всего мыслимых вариантов сочетаний элементов успех и неудача может возникнуть при г испытаниях? Для этого нужно вычислить и суммировать все виды сочетаний, где содержатся 0 успехов (г неудач), 1 успех (г - 1 неудача), 2 успеха (г - 2 неудачи) и т.д.

Например, для г = 2 получим:

где С (0/2) — это число сочетаний, когда во всех г = 2 испытаниях не выпало ни одного успеха (одни лишь неудачи); С(1/2) — это число сочетаний, когда во всех г = 2 испытаниях выпал 1 успех и 1 неудача;

С(2/2) — это число сочетаний, когда во всех г = 2 испытаниях выпало 2 успеха (ни одной неудачи).

Для г = 3 будет другой результат:

где С (0/3) — это число сочетаний, когда во всех г = 3 испытаниях не выпало ни одного успеха (все неудачи); С(1/3) — это число сочетаний, когда во всех г = 3 испытаниях выпал лишь 1 успех (а значит, остальные 2 были неудачи);

С(2/3) — это число сочетаний, когда во всех г = 3 испытаниях выпало 2 успеха (а значит, 1 неудача); С (3/3) — это число сочетаний, когда во всех г = 3 испытаниях выпадали только одни успехи (ни одной неудачи).

Это общий порядок расчета для любого числа возможных исходов в каждом отдельном испытании. Для частного случая, когда есть только два исхода (успех и неудача), существует более простая формула (два в степени г):

Г.

Тогда получаем те же результаты:

•        при г = 2 число комбинаций равно два в степени два (4);

•        при г = 3 число комбинаций равно два в степени три (8);

•        при г = 4 число комбинаций равно два в степени четыре (16) и т.д.

Как видим, уже при 10 применениях одного и того же сигнала число вари антов цепочки из успехов и неудач превышает 1000 (точнее, 1024), а при 20 — выше миллиона (1 048 576). После 30 операций число сочетаний превышает миллиард. Это означает, что было бы крайне маловероятно найти двух игроков с одинаковой комбинацией результатов. Каждому трейдеру уготована своя уникальная история.