Целевая функция

Целевая функция дает нам высоту для данного набора значений f Другими словами, целевая функция дает нам высоту, которая соответствует единственной координате восток-запад и единственной координате север-юг. То есть координаты каждой точки задаются следующим образом: широта и долгота — парой значений f а высота — значением целевой функции от этих значений /

Теперь, когда у нас есть координаты для отдельной точки (ее широта, долгота и высота), нам нужна некая процедура поиска, метод математической оптимизации, для изменения значений /, подставляемых в целевую функцию таким образом, чтобы возможно скорее и проще добраться до вершины поверхности.

То, что мы делаем, направлено на составление карты определенной области в (и + 1)-мерного изображения, ибо координаты его вершины дают нам оптимальные значения /для использования в каждой рыночной системе.

В прошлом было разработано множество методов математической оптимизации, многие из которых весьма продуманны и эффективны. У нас есть из чего выбирать. Ключевым вопросом является: «К какой целевой функции мы будем применять эти методы математической оптимизации в нашей новой методологии инвестирования капитала?» Целевая функция является ее сердцевиной. Далее мы обсудим этот вопрос и проиллюстрируем на примерах, как работать с целевыми функциями. После этого мы займемся методами оптимизации целевых функций.

Целевая функция

Целевая функция, которую мы хотим максимизировать, представляет собой среднее геометрическое от HPR, которое обозначается просто G:

m

о^./.НПнра/^"*''                                      [4.01],

где:

п — количество сценарных спектров (рыночных систем или компонентов портфеля);

т = возможное количество комбинаций исходов между различными сценарными спектрами (рыночными системами) в зависимости от количества сценариев в каждом наборе; т = число сценариев в первом спектре * число сценариев во втором спектре *...* число сценариев в и-том спектре;

Probk = сумма вероятностей всех т HPR для данного множества значений f Probk обозначает сумму величин в фигурных скобках из выражения [4.02] для всех значений т данного набора значений f;

HPRk = итог к-то периода владения. Эта величина равна:

HPRk= (l + (I (ft *(-?Lkl/BL)))) Li Д                               t4-02],

где:

n = количество компонент (сценарных спектров, т. е. рыночных систем) в портфеле;

fs = значение f используемое для /-ой компоненты; f{ должно быть > 0 и может быть не ограничено большим (т. е. может быть больше 1,0);

PLt. = прибыль или потеря, приносимая исходом i-ой компоненты (т. е. сценарного спектра или рыночной системы), ассоциированная с k-ой комбинацией сценариев;

BL,= худший исход i-oro сценарного спектра (рыночной системы).

То есть Probk в предыдущем выражении для G имеет вид:
РгоЬ* = (П(П Р(Ш))                                  [403]

/=1 j=i+l

Величина t\ik\jk) — это просто совместная вероятность (предмет обсуждения предыдущей главы) сценариев i-ro и j-ro спектров, которые входят в к-ую комбинацию сценариев. Например, если у нас есть три монеты, то каждой из них соответствует сценарный спектр из двух сценариев: орел и решка. Количество сценарных спектров (2) выражается переменной п. Откуда получаем восемь (2*2*2) возможных комбинаций исходов, которые обозначаются переменной т.

В выражении [4.01] переменная к изменяется от 1 до m в одометрическом (лексикографическом) порядке:

То есть изначально все спектры установлены на свои худшие (крайне левые) значения. Затем крайне правый спектр циклически проходит через все свои значения, после чего второй справа спектр переходит к следующему (справа) сценарию. Продолжаем таким образом дальше: циклически меняем все сценарии крайне правого спектра, когда второй справа сценарный спектр циклически прошел все свои значения, третий переходит к своему следующему сценарию. Данный процесс абсолютно аналогичен тому, как работает одометр в автомобиле, откуда и взялось название одометрический.

Таким образом, если бы к было больше 3 (т. е. к = 3), i равно 1, a j равно 3, то величина P(ik|jk) обозначала бы совместную вероятность выпадения монеты 1 решкой и выпадения монеты 3 решкой. Наконец, подставив выражения [4.02] и [4.03] в [4.01], мы можем создать одну полную целевую функцию. То есть мы сможем максимизировать G в виде:

с(/;.../„) = (П(Ы1

К=1        1=\

(/;*(-рц./вь.)))   А,                        ))       А,                          С4-04!

Данная целевая функция, которую нам нужно максимизировать, выражает суть нашей новой методологии инвестирования капитала. Она дает нам высоту, среднее геометрическое HPR, в (п + 1)-мерном пространстве используемых значений f Это точное значение, безотносительно к тому, как много сценарных спектров используется в качестве аргументов. Это — целевая функция модели в пространстве рычагов.

Хотя выражение [4.04] может показаться несколько устрашающим, нет никаких причин пугаться его. Как можно заметить, это выражение представляет собой компактную форму выражения [4.01], с которой работать много удобнее.