Три функции роста, линейная, экспоненциальная и гиперболическая

Поскольку в данной книге используется математический аппарат, описывающий процессы роста, мы не можем пройти мимо самих законов роста. Подходя к ним с математических позиций, мы можем обсуждать их в терминах функций роста или соответствующих темпов роста.

Функции роста можно разделить на три отдельные категории, каждой из которых соответствует свой темп роста. На рис. 2.1 эти три категории представлены линиями В, С и D, а их темпы роста — линиями А, В и С, соответственно. Непосредственно слева от каждой функции роста расположен ее темп роста.

Так, для функции роста В, или линейной функции роста, темпом роста служит линия А. Хотя В сама является функцией роста, она одновременно служит темпом роста для функции С, которая называется экспоненциальной.

Обратите внимание, что существует три функции роста: линейная, экспоненциальная и гиперболическая. То есть гиперболическая функция роста имеет экспоненциальный темп роста, экспоненциальная функция роста имеет линейный темп роста, а линейная функция роста имеет горизонтальную функцию роста.

Здесь важную роль играют оси X и Y. При обсуждении функций роста (В, С или D) ось Y представляет количество, а ось X — время. При обсуждении темпов роста ось Y представляет изменение количества в зависимости от времени, а ось X представляет количество.

Y

А           В             С             D

Linear    Exponential     Hyperbolic

1------------------------------------------------------------------

Рис. 2.1.

Когда мы говорим о темпах и функциях роста в общем плане, мы часто имеем в виду рост некоторой популяции. Первая из трех основных функций роста — это линейная функция роста (линия В), а ее темп роста — линия А. Члены популяции, характеризующейся линейным ростом, склонны легко находить уровень сосуществования.

Следующей идет экспоненциальная функция роста (линия С) со своим линейным темпом роста (линия В). Члены этой популяции конкурируют между собой, и в действие вступает принцип выживания сильнейшего. При экспоненциальной функции роста возможно возникновение мутации, которая дает селективное преимущество и закрепляется в потомках.

Наконец, в случае функции гиперболического роста (линия D) и ее экспоненциального темпа роста (линия С) ситуация меняется. В отличие от экспоненциальной функции роста, имеющей линейный темп роста, этот темп роста сам экспоненциальный. То есть, чем больше количество, тем быстрее темп роста! Гиперболическая функция роста, в отличие от экспоненциальной функции, обладает свойством, которое мы называем сингулярностью: в некоторой точке функция становится бесконечно большой вертикальной асимптотой. Этого не происходит с функцией экспоненциального роста, которая просто все увеличивается и увеличивается. При гиперболической функции роста мы также обнаруживаем конкуренцию между членами популяции по принципу выживания сильнейшего. Однако в некоторой точке роста гиперболической популяции селективные преимущества мутаций уже практически не могут закрепляться в следующем поколении из-за очень быстрого увеличения остальной части популяции.