сценарные спектры с ненулевым коэффициентом корреляции

Рассмотрим два одновременных сценарных спектра с ненулевым коэффициентом корреляции и оценим вероятность совместной реализации двух заданных сценариев, по одному из каждого спектра.

Вспомним, что, когда мы бросаем две монеты и исходы стохастически независимы (т. е. коэффициент линейной корреляции г равен 0), вероятность выпадения двух орлов равна произведению индивидуальных вероятностей (см. формулу [3.01]):

р(Н1|Н2) = р(Н1).р(Н2),

или в более краткой форме:

Р(ц2) = PiP2.

Теперь давайте представим себе, что две наши монеты могут телепатически общаться между собой так, что, когда первая монета выпадает орлом, вторая также выпадает орлом. Это ситуация соответствует коэффициенту линейной корреляции г, равному 1. Вероятность выпадения двух орлов равна 0,5 — вероятности выпадения орла на первой монете.

Если бы коэффициент корреляции был равен —1 (то есть если первая монета выпадает орлом, то вторая обязательно — решкой), то при бросании двух монет вероятность выпадения

двух орлов была бы равна нулю. Однако вероятность выпадения на первой монете орла, а на второй монете — решки равна 0,5, что равно вероятности выпадения на первой монете орла (так как г — — 1, вторая монета всегда выпадает решкой, если первая выпала орлом).

Введем теперь понятие, которое за неимением лучшего термина будем называть интеранпшсечением. Для этого вновь обратимся к случаю r= 1, то есть, когда при выпадении одной монеты орлом, другая монета также выпадает орлом. Мы говорим, что вероятность этого (0,5) равна вероятности выпадения одной из монет орлом, поскольку используются идеальные монеты с вероятностью выпадения орла, равной 0,5.

Предположим далее, что одна из монет не идеальна и вероятность выпадения на ней орла равна не 0,5, а 0,4. Теперь вероятность выпадения двух орлов будет равна 0,4 — меньшая из вероятностей перекрывает большую.

0                     0,4                          1,0

Монета

Монета 2

При этом у какой из монет, первой или второй, вероятность меньше, роли не играет:

Интерантисечение при г = 1 и есть описанное перекрытие, то есть меньшая из двух вероятностей. На предыдущем рисунке интерантисечением выпадения обеих монет решкой будет 0,4. Другими словами, при положительном г интерантисечение есть пересечение двух вероятностей.

Когда коэффициент корреляции отрицателен, второй сценарный спектр (в данном случае монета 2) переворачивается на 180 градусов.

Монета 1

Решка

Монета 2

0                         0,5                      1,0

0                     0,4

Решка

Если бы вероятность выпадения решки была равна 0,4 (и, следовательно, вероятность выпадения орлов была бы равна 0,6), то вероятность выпадения двух орлов была бы равна 0,5 — меньшей из двух вероятностей (так как вероятность орла на одной монете равна 0,6, а на другой равна 0,5).

Заметьте, что на предыдущем рисунке вторая монета переворачивается на 180 градусов, давая тем самым совместную вероятность 0,5 выпадения орла на первой монете (с вероятностью

0,6) и решки (с вероятностью 0,5) — на второй, если коэффициент корреляции между двумя монетами равен — 1.

Если бы мы захотели найти интерантисечение выпадения двух орлов, то, как явствует из следующего рисунка, получили бы вероятность 0,1.

Монета 1

0                              0,6                  1,0

Вспомните теперь, что при бросании двух монет в условиях стохастической независимости между ними (т. е. коэффициент линейной корреляции г = 0), вероятность выпадения двух орлов равнялась произведению индивидуальных вероятностей (см. уравнение [3.01]):

р(Н1|Н2) = р(Н1)*р(Н2), или в более краткой форме:

P(i[2) = Pi *Р2Следовательно, для идеальных монет (т. е. у каждой вероятность выпадения орла равна 0,5) при нулевом коэффициенте вероятность выпадения двух орлов будет равна:

р(Н1|Н2) = р(Н1).р(Н2) = 0,5*0,5 = 0,25.

Но когда коэффициент корреляции равен 1, совместная вероятность представляет собой пересечение индивидуальных вероятностей, или 0,5 в данном случае. Когда коэффициент корреляции равен —1, это будет пересечение после поворота на 180 градусов (антисечение) одного из сценарных спектров, что в данном случае даст нулевую вероятность выпадения двух орлов.