совместная плотность вероятности

Подлинное страдание причиняла мне известная теорема об условных вероятностях, утверждавшая, что совместную плотность вероятности нельзя получить из безусловных плотностей вероятности компонент. Согласно традиционной точке зрения считалось, что в отсутствие стохастической независимости функция совместной плотности вероятности является уникальной, вполне самостоятельной, которая возникает как бы ниоткуда! То есть она не выражается через функции безусловных плотностей составляющих, а есть новая, самостоятельная функция плотности вероятности, которая не может быть восстановлена из функций безусловных плотностей составляющих. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую таблицу, позаимствованную у Феллера*, которую мы графически проиллюстрировали на рис. 3.1.

X

Коэффициент корреляции между потоками исходов события X и события Y равен нулю. Поэтому, если бы имела место стохастическая независимость, то можно было бы ожидать, что вероятность Х = 0 и Y = 3 будет равна (6/27)  (8/27) = 0,222  0,0658 = 0,0658. Вместо этого, эта вероятность равняется нулю, подтверждая тем самым принятую теорему условных вероятностей о том, что совместные плотности не могут быть получены из безусловных плотностей компонентов.

Было известно, как определять коэффициент корреляции при наличии только совместной плотности и безусловных плотностей , но долгое время считалось, что нельзя определить совместную плотность, располагая лишь безусловными плотностями и коэффициентом корреляции потоков. А именно это мне и было нужно.

Я не мог принять традиционную точку зрения и стал еще более одержим поисками такого решения этой проблемы, которое было бы четким и легко применимым на практике. То есть мне нужно было такое решение, посредством которого при наличии коэффициента корреляции и вероятностей, ассоциированных с двумя сценарными спектрами (например к двум монетам, имеющими два равновероятных сценария О и Р), представленными двумя безусловными плотностями вероятности, можно было бы рассчитать плотность совместной вероятности.

В конце концов я понял механизм формирования совместной плотности вероятности из безусловных плотностей вероятности. Однако, как вы увидите, этот механизм оказался не столь четким и простым, как мне бы хотелось.

Природа вновь не идет на сотрудничество.