Оценочное среднее геометрическое

В дальнейшем для простоты будем использовать примеры из азартных игр. Рассмотрим две системы: систему А, которая выигрывает 10% сделок с выплатой «двадцать восемь-к-одному», и систему В, выигрывающую 70% сделок с выплатой «один-к-одному». Наше математическое ожидание на единицу ставки для системы А равно 1,9 и для системы В — 0,4. Следовательно, мы можем сказать, что на каждую единицу ставки система А будет приносить в среднем в 4,75 раза больше, чем система В. Но давайте взглянем на это с позиций торговли фиксированной долей счета. Мы можем найти наши оптимальные /, деля математические ожидания на отношения цен выигрыша и проигрыша (по формуле [1.04Ь]). Это дает оптимальное f для А — 0,0678 и для В — 0,4. Средние геометрические для каждой из систем при их оптимальных f будут равны:

для А - 1,044176755; для В - 1,0857629.

System    % Wins    Win: Loss     ME           /              Geomean

Хотя (1 + R) есть то же самое, что HPR, мы можем сказать, что большинство ошибается, считая, что функция роста* , или TWR, задается формулой:

TWR = HPRr

А это верно лишь тогда, когда доход (т. е. HPR) постоянен, чего в торговле не бывает.

Настоящая функция роста в торговле (или в любой другой сфере с переменным HPR) есть произведение значений HPR. Предположим, что мы торгуем кофе и наш оптимальный/— это один контракт на каждые 21000 долларов торгового счета. Пусть проведено две сделки, первая из которых принесла убыток в 210 долл., а вторая — доход в 210 долл. (соответствующие значения HPR равны 0,99 и 1,01). В таком случае TWR был бы равен:

TWR= 1,01 * 0,99 = 0,9999.

Для лучшего понимания этого можно использовать оценочное среднее геометрическое (EGM), которое довольно точно аппроксимирует среднее геометрическое из выражения [1.07]:

G = ^JA2~Si                                    [1.10а]

или

G=^A2~V                                       [1.10b],

где:

G — среднее геометрическое HPR;

А — среднее арифметическое HPR;

S — стандартное отклонение значений HPR;

V — дисперсия значений HPR.

Теперь для для получения оценки TWR возведем уравнения [1.07] и [1.10а,Ь] в степень Т. Эта оценка будет весьма точно аппроксимировать мультипликативную функцию роста, или настоящее TWR, из формулы [1.06]:

TWR = (Vy42-1S2)r                       [1.11],

где:

Т — количество периодов;

А — среднее арифметическое HPR;

S — стандартное отклонение совокупности значений HPR.

Суть полученного результата заключается в том, что теперь мы можем математически представить зависимость между ростом средней арифметической сделки (HPR) и дисперсией значений HPR, то есть причину, по которой система В (70%, «один-к-одному») более эффективна, чем система А (10%, «двадцать восемь-к-одному»).

Мы должны стремиться к максимальному приросту функции, заданной формулами [1.10а,Ь], или, говоря буквально, к максимизации квадратного корня из квадрата среднего арифметического HPR за вычетом дисперсии значений HPR.

Показатель степени Т в оценочном TWR позаботится о себе сам. Другими словами, увеличение Т не составляет проблемы, ибо мы всегда можем увеличить количество рынков, на которых торгуем, использовать более краткосрочные торговые системы и так далее.

Формулу [1.10а] можно переписать в виде:

yP=Cr + Sl                                         [1.12]

Это позволяет понять существо зависимости. Обратите внимание, что по форме — это знакомая теорема Пифагора, глася

щая, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его сторон (рис. 1.6)! Здесь гипотенуза равна А, а максимизировать нам нужно одну из сторон — G.