оптимальная ставка

А что будет, если выйти из игры после второго выбрасывания? Какой тогда должна быть оптимальная ставка, максимизирующая наш ожидаемый средний общий итог, когда в одном случае мы играем при /= 1, и выходим из игры после первого кона, а в другом — играем при оптимальном /и продолжаем игру бесконечно долго?

Если мы вернемся назад и найдем оптимальное /, которое давало бы максимум среднего геометрического HPR за два первых кона в предположении, что при первом и втором выбрасываниях использовались различные значения /, то получим следующее. Во-первых, оптимальное/для выхода из этой игры после двух конов приближается к асимптотически оптимальному, меняя свое значение с 1,0 (выход после первого кона) на 0,5 для первого и второго кона. То есть если бы мы собирались выйти из игры после второго кона, то для максимизации роста нам следовало бы на оба кона, первый и второй, ставить по 0,5 счета. Напоминаю, что мы имеем право для первого и второго кона брать разные значения f Но в данном случае они оказываются одинаковыми: 0,5. Дело в том, что максимум роста для конечных и бесконечных потоков достигается на одном и том же оптимальном /

Мы можем убедиться в этом, если рассмотрим две первых возможных комбинации выбрасываний монеты:

          № выбрасывания        

U]______________ {2}

орел

орел

решка орел

решка

решка

Откуда, перейдя к исходам, получаем:

           № выбрасывания       

Щ_______________ {2}

2

2

-1 2

-1

-1

Эти исходы можно преобразовать в итоги периодов владения

для различных значений f Ниже это сделано для /= 0,5, как при первом, так и при втором выбрасывании монеты:

           № выбрасывания       

{1}                                {2}

2

2

0,5 2

0,5

0,5

Теперь мы можем выразить все выбрасывания, следующие за первым, в виде значений TWR с помощью умножения на последующие выбрасывания согласно дереву игры. Число в скобках, стоящее рядом с последней ветвью дерева — это корень степени п из последнего значения TWR (я равно количеству HPR, или выбрасываний, в данном случае — 2), который является средним геометрическим HPR для конечного узла дерева:

           № выбрасывания       

{1}                                {2}

4(2.0)

2

1(1,0) 1(1,0)

0,5

0,25 (0,5)

Если теперь сложить средние геометрические значения HPR и взять арифметическое среднее, то получим ожидаемый средний общий доход. В данном случае он будет равен:

2,0 1,0 1,0 0,5

4,5/4 = 1,125

Следовательно, если бы мы прекращали игру после двух конов, но делали бы это бесконечное количество раз (т. е. останавливались после двух конов), ставя на каждый кон без пропусков оптимальные 50% счета, то максимизировали бы тем самым наше EACG.

Обратите внимание, что ставка первого кона не соответствовала /= 1,0, хотя это оптимизировало бы ожидаемый средний общий рост, остановись мы после этого. Вместо этого, планируя остановиться после двух конов, мы максимизируем EACG, ставя на оба кона по 0,5 счета.