Минимизация ожидаемого среднего общего роста

До сих пор в этой книге, как и в двух ее предшественницах, мы занимались поиском значения /, которое приводило бы к асимптотическому доминированию. То есть для данной рыночной системы мы искали единственное значение /, которое при реальной независимости между сделками с достоверностью приводило бы к максимальному геометрическому росту при стремлении количества сделок (или периодов владения) к бесконечности. Это значит, что в весьма отдаленной перспективе с вероятностью, приближающейся к достоверной, мы выиграли бы больше, чем с помощью любой другой стратегии управления капиталом.

Напомню, что если у нас есть только одна игра, то мы максимизируем рост, прибегая к максимизации среднего арифметического дохода за период владения (т. е. /= 1). Если у нас бесконечное количество игр, то мы максимизируем рост путем максимизации среднего геометрического итога периодов владения (т. е. используем оптимальное J). Однако действительно оптимальное f является функцией планируемой нами продолжительности торговли — количества следующих друг за другом итогов конечных периодов владения (HPR),

Для одного HPR игры с положительным математическим ожиданием оптимальное /всегда будет равно 1,0. Если мы сыграем при любом f отличном от 1,0, и остановимся после одного периода владения, то мы не максимизируем наш ожидаемый средний геометрический рост. То, что считается оптимальным f будет таковым, если бы мы сыграли бесконечное количество периодов владения. Для игры с положительным математическим ожиданием действительно оптимальное /начинается с единицы и стремится к оптимальному значению, при стремлении количества периодов владения к бесконечности.

Чтобы убедиться в этом, вновь рассмотрим нашу игру в монетку «два-к-одному», для которой определенное нами оптимальное f равно 0,25. Если в этой игре результат очередного выбрасывания не зависит от предыдущих, то, ставя на каждый кон без пропусков 25% счета, мы наверняка максимизируем наш геометрический рост при стремлении продолжительности игры, или количества подбрасываний (т. е. количества периодов владения), к бесконечности. Это значит, что наш ожидаемый средний геометрический рост, то есть то, чем мы могли бы рассчитывать закончить, — ожидаемая величина по всем возможным комбинациям исходов — будет самым большим, если ставить на кон по 25% счета.

Рассмотрим первое подбрасывание. С вероятностью 50% мы выигрываем два долл. и с вероятностью 50% проигрываем один доллар. Перед вторым выбрасыванием мы имеем следующие шансы: 25% на выигрыш двух долларов при первом выбрасывании и 25% на выигрыш двух долларов при втором; 25% на выигрыш двух долларов при первом выбрасывании и 25% на проигрыш одного доллара при втором; 25% на проигрыш одного доллара при первом выбрасывании и 25% на выигрыш двух долларов при втором; 25% на проигрыш одного доллара при первом выбрасывании и 25% на проигрыш одного доллара при втором (мы считаем эти вероятности истинными, ибо исходим из предпосылки о независимости этих событий — см. раздел «Стохастическая независимость» следующей главы). В ходе игры комбинации образуют древовидную структуру. Поскольку в нашем сценарном спектре только два сценария (орел и решка), из каждого узла игрового дерева отходят только две ветви. Если бы в нашем сценарном спектре было больше сценариев, то и ветвей было бы больше:

________ № выбрасывания_______

0}__________ J2}___________ {3}_

орел

орел

орел

решка орел

решка

решка орел

орел

решка

решка орел

решка

решка

Если мы поставим 25% наших денег на первое выбрасывание и выйдем из игры, то мы не максимизируем наш ожидаемый средний общий рост (EACG).