максимизация полезности

Например, если вновь обратиться к игре в монетку, которая предлагает нам два доллара за выпадение орла и отбирает один доллар за выпадение решки, то сколько нам следует ставить на кон? Мы знаем, что если мы хотим максимизировать капитал в непрерывном режиме, в каждом следущем розыгрыше располагая теми же деньгами, что и в начале игры, то на каждый кон мы должны ставить 25% того, что можем. Это максимизировало бы не только капитал, но и полезность, если мы определим, что выигрыш двух долларов для нас в два раза ценнее, чем проигрыш одного доллара.

А что, если выигрыш двух долларов был бы для нас лишь в полтора раза ценнее проигрыша одного доллара? Для максимизации такой полезности мы сопоставляем проигрышному сценарию, то есть решкам, значение —1 (в ютилах), а выигрышному сценарию, то есть орлам, — значение 1,5 (в ютилах). Определив оптимальное f применительно к измерению в ютилах, а не в долларах, получим, что оно равно 0,166666. Это означает, что для максимизации нашей средней геометрической полезности на каждый кон следует ставить по 162/з %. То есть, чтобы определить количество контрактов, нужно общую величину счета в ютилах разделить на 0,166666.

Далее мы можем преобразовать это значение в количество контрактов на долларовую величину счета и отсюда рассчитать то значение/(между нулем и единицей), которое мы действительно используем (в долларах, а не в ютилах).

Проделав это, мы сможем применить к этой задаче все ту же кривую оптимизации капитала для игры в монетку «два-к-одному», имеющей вершину при/= 0,25 (рис. 1.2), но в данном случае абсцисса ее пика будет равна 0,166666. В долларовом выражении негативные последствия субоптимальности нашей позиции будут по-прежнему зависеть от /= 0,25. Однако кривая полезности достигает вершины при /= 0,166666, где мы и находимся. Заметьте, что если бы мы расположились на этой кривой в точке с абсциссой 0,25, то оказались бы много правее ее вершины и оплачивали бы соответствующие издержки в единицах полезности.

Предположим теперь, что в данном периоде владения нам повезло и мы собираемся продолжить игру, обновляя исходы сценариев в ютилах. На этот раз у нас больше денег, поэтому полезность выигрышного сценария в следующем периоде владения понизится до 1,4 ютила. Мы вновь рассчитываем наше оптимальное f в ютилах и, определилив, сколькими единицами торговать в следующем периоде владения (исходя из величины счета в ютилах), можем получить долларовую величину /(от нуля до единицы). Проделав это, мы обнаружим, что она иная, чем в предыдущем периоде владения.