Нормальные вероятности

Теперь мы знаем, как преобразовывать наши необработанные данные в стандартные единицы и как построить кривую N'(Z) (т.е. как найти высоту кривой, или координату Y, для данной стандартной единицы), а также N'(X) (из уравнения (3.14), т.е. саму кривую без первоначального преобразования в стандартные единицы).

Для практического использования нормального распределения вероятности нам надо знать вероятность определенного результата. Это определяется не высотой кривой, а площадью под кривой. Эта площадь задается интегралом функции N'(Z), которую мы до настоящего момента изучали. Теперь мы займемся N(Z), интегралом N'(Z), чтобы найти площадь под кривой (т. е. вероятности)1.

(3.21)        N(Z) = 1-N'(Z)*((1,330274429*YA 5)-(1,821255978 *YA 4) + + (1,781477937 * Y A 3) - (0,356563782 * Y A 2) + + (0,31938153 *Y)) Если Z < 0, то N(Z) = 1 - N(Z)

(3.15a)       N'(Z) = 0,398942 * EXP(-(Z A 2/2)), где       Y=1/(1+2316419*ABS(Z)) и ABSQ = функция абсолютного значения; ЕХР() = экспоненциальная функция.

При расчете вероятности мы всегда будем преобразовывать данные в стандартные единицы. То есть вместо функции N(X) мы будем использовать функцию

N(Z), где:

(3.16)    Z=(X-U)/S, где   U = среднее значение данных; S = стандартное отклонение данных; Х = наблюдаемая точка данных.

Теперь обратимся к уравнению (3.21). Допустим, нам надо знать, какова вероятность события, не превышающего +2 стандартных единицы (Z = +2). Y= 1/(1 +2316419*ABS(+2)) =1/1,4632838 =0,68339443311

(3.15a) N'(Z) = 0,398942 * ЕХР(-(+2А2/2))

= 0,398942 *ЕХР (-2)=0,398942*0,1353353=0,05399093525

Заметьте, мы можем найти высоту кривой при +2 стандартных единицах. Подставляя полученные значения вместо Y и N'(Z) в уравнение (3.21), мы можем получить вероятность события, не превышающего +2 стандартных единицы:

N(Z) = 1 - N'(Z) * ((1,330274429 * YA 5) -

-  (1,821255978 * YA4) + (1,781477937 * YA 3) -

-  (0,356563782 * Y A 2) + (0,31938153 * Y))

= 1-0,05399093525* ((1,330274429* 0,68339443311A5)-

- (1,821255978 * 0,68339443311 a 4 + 1,781477937 * 0,68339443311A 3) - -(0,356563782 * 0,68339443311 A2) + 0,31938153 * 0,68339443311))

= 1 - 0,05399093525 * (1,330274429 * 0,1490587) -

- (1,821255978 * 0,2181151 + (1,781477937 * 0,3191643)- (0,356563782 * 0,467028 + 0,31938153 - 0,68339443311))

1- 0,05399093525 * (0,198288977 - 0,3972434298 + 0,5685841587 -

-0,16652527+0,2182635596) = 1 - 0,05399093525 * 0,4213679955 = 1 - 0,02275005216= 0,9772499478

На самом деле, интеграл плотности нормального распределения вероятности нельзя рассчитать точно, но его можно с большой степенью точности получить с помощью уравнения (3.21).

Таким образом, можно ожидать, что 97,72% результатов в нормально распределенном случайном процессе не попадают за +2 стандартные единицы. Это изображено на рисунке 3-8.

Чтобы узнать, какова вероятность события, равного или превышающего заданное число стандартных единиц (в нашем случае +2), надо просто изменить уравнение (3.21) и не использовать условие «Если Z < 0, то N(Z) = 1 - N(Z)». Поэтому вторая с конца строка в последнем расчете изменится с

= 1 - 0,02275005216 на 0,02275005216

Таким образом, с вероятностью 2,275% событие в нормально распределенном случайном процессе будет равно или превышать +2 стандартные единицы. Это показано на рисунке 3-9. N(Z)hN'(Z)

3-2-1  0      1     2    3

Z

Рисунок 3-8  Уравнение для вероятности Z=+2