Модель ценообразования европейских опционов

Мы можем создать собственную модель ценообразования, лишенную каких-либо предположений относительно распределения изменений цены. Сначала необходимо определить термин «теоретически справедливый», относящийся к цене опционов. Мы будем говорить, что опцион справедливо оценен, если арифметическое математическое ожидание цены опциона к моменту истечения, выраженное на основе его текущей стоимости, не принимает во внимание возможного направленного движения цены базового инструмента. Смысл определения таков: «Какова стоимость данного опциона для меня сегодня как для покупателя опционов»?

Математическое ожидание (арифметическое) определяется из уравнения (1.03):

N

(1.03)       Математическое ожидание = ^ (р. * а),

где   р; = вероятность выигрыша или проигрыша попытки i; a;= выигранная или проигранная сумма попытки i; N =количество возможных исходов (попыток).

Математическое ожидание представляет собой сумму произведений каждого возможного выигрыша или проигрыша и вероятности этого выигрыша или проигрыша. Когда сумма вероятностей р; больше 1, уравнение 1.03 необходимо разделить на сумму вероятностей р;.

Рассмотрим все дискретные изменения цены, которые имеют вероятность осуществления, большую или равную 0,001 в течение срока действия контракта, и по ним определим арифметическое математическое ожидание.

(5.10)       C=X(P,*ai)/Xp„

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или арифметическое математическое ожидание;

р; = вероятность цены i по истечении срока опциона;

а; = внутренняя стоимость опциона (для кол-опциона: рыночная цена инструмента минус цена исполнения опциона;

для пут-опциона: цена исполнения минус рыночная цена инструмента), соответствующая базовому инструменту при цене i.

Использование этой модели подразумевает, что, начиная с текущей цены, мы будем двигаться вверх по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в знаменателе до тех пор, пока вероятность i-ой цены (т.е. р.) не будет меньше 0,001 (вы можете использовать меньшее число, но я считаю, что 0,001 вполне достаточно). Затем, начиная со значения, которое на 1 тик ниже текущей цены, мы будем двигаться вниз по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в знаменателе, пока вероятность i-ой цены (т.е. р;) не будет меньше 0,001.

Отметьте, что вероятности, которые мы используем, являются 1-хвостыми, т. е., если вероятность больше чем 0,5, мы вычитаем это значение из 1. Интересно отметить, что значения вероятности р; можно менять в зависимости от того, какое распределение применяется, и оно не обязательно должно быть нормальным, то есть пользователь может получить теоретическую справедливую цену опциона для любой формы распределения! Таким образом, эта модель дает возможность использовать устойчивое распределение Парето, t-распределение, распределение Пуассона, собственное регулируемое распределение или любое другое распределение, с которым, по нашему мнению, согласовывается цена при определении справедливой стоимости опционов.

Необходимо изменить модель таким образом, чтобы она выражала арифметическое математическое ожидание на дату истечения срока опциона как следующую величину:

(5.11)       C=(X(Pi*ai) *exp(-r*t))/2Pi,

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или текущее значение арифметического математического ожидания при данном значении Т;

p; = вероятность цены i по истечении срока опциона;

а; =внутренняя стоимость опциона, соответствующая базовому инструменту при цене i;

R = текущая безрисковая ставка;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью.