Геометрический оптимальный портфель

Геометрический оптимальный портфель — это портфель, который расположен в точке, где линия, прочерченная из (0, 0) с наклоном 1, пересекает эффективную границу AHPR.

Рисунок 7-2 показывает эффективные границы на основе одной сделки. Мы можем преобразовать геометрическое среднее HPR в TWR с помощью уравнения:

(7.07)     GTWR = GHPRA N,

где GTWR = значение вертикальной оси, соответствующее данному GHPR после N сделок;

N - число сделок, которые мы хотим использовать.

Рисунок 7-4 Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования

Пусть нашей целью будет AHPR при значении V, которое соответствует геометрическому оптимальному портфелю. В знаменателе (2.09а) мы используем среднее геометрическое геометрического оптимального портфеля. Теперь мы можем определить, сколько сделок необходимо для того, чтобы привести наш геометрический оптимальный портфель к одной сделке арифметического портфеля:

N=ln(l,031)/ln(l,01542) =0,035294/0,0153023 = 1,995075

Таким образом, можно ожидать, что через 1,995075, или приблизительно через 2 сделки, оптимальное GHPR достигнет соответствующего (при том же V) AHPR для одной сделки. Здесь возникает проблема, которая заключается в том, что ATWR должно отражать тот факт, что прошли две сделки. Другими словами, когда GTWR приближается к ATWR, ATWR двигается вверх, хотя и с постоянной скоростью (в отличие от GTWR, которое ускоряется). Можно решить эту проблему с помощью уравнений (7.07) и (7.08) для расчета геометрического и арифметического TWR:

(7.09)       GHPR А N = > 1+N* (AHPR - 1)

Так как мы знаем, что, когда N = 1, G всегда меньше А, можно перефразировать вопрос: «При скольких N G будет равно А?» Математически это будет выглядеть таким образом:

(7.10а)      GHPR Л N = 1 + N * (AHPR - 1), что можно представить следующим образом: (7.106)      1 + N* (AHPR- 1)- GHPR л N = 0,

или

(7. Юг)      N = (GHPR л N - 1) / (AHPR - 1)

N в уравнениях с (7.10а) по (7. 10г) представляет собой количество сделок, которое необходимо для того, чтобы геометрическое HPR стало равно арифметическому. Все три уравнения эквивалентны. Решение можно получить методом итераций. Зная для нашего геометрического оптимального портфеля GHPR= 1,01542 и соответствующее AHPR= 1,031 и решая любое уравнение с (7.10а) по (7. 10г), мы находим, что N = 83,49894.

Таким образом, после того, как пройдет 83,49894 сделки, геометрическое TWR догонит арифметическое. Полученный результат справедлив для тех TWR, которые соответствуют координате дисперсии геометрического оптимального портфеля. Так же, как и AHPR, GHPR имеет свою линию CML. Рисунок 7-5 показывает как AHPR, так и GHPR с линиями CML, рассчитанными на основе безрисковой ставки.

CMLG = (CMLA Л 2 - VT * Р) Л (1/2),

CMLG = координата Е (по вертикали) линии CML для GHPR при данной координате V, соответствующей Р;

CMLA= координата Е (по вертикали) линии CML для AHPR при данной координате V, соответствующей Р;

Р = процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02); VT = координата дисперсии касательного портфеля.

Следует иметь в виду, что для данной безрисковой ставки касательный портфель и геометрический оптимальный портфель в общем случае не одинаковы. Портфели будут идентичными при выполнении следующего равенства: (7.12)      RFR=GHPROPT-1,

где       RFR = безрисковая ставка;

GHPROPT  =   среднее   геометрическое  HPR  геометрического   оптимального портфеля, т.е. координата Е портфеля на эффективной границе.

Только когда разность GHPR геометрического оптимального портфеля и единицы равна безрисковой ставке, геометрический оптимальный портфель и касательный портфель будут одинаковыми. Если RFR > GHPROPT - 1, тогда геометрический оптимальный портфель будет слева (т.е. иметь меньшую дисперсию, чем касательный портфель). Если RFR < GHPROPT - 1, тогда касательный портфель будет слева (т. е. иметь меньшую дисперсию, чем геометрический оптимальный портфель).

Во всех случаях касательный портфель, конечно же, никогда не будет иметь более высокое GHPR, чем геометрический оптимальный портфель. Отметьте также, что точки касания CML к GHPR и CML к AHPR имеют одну координату SD. Мы можем использовать уравнение (7.01а) для поиска касательного портфеля GHPR, заменив в (7.01а) AHPR на GHPR. В результате получится следующее уравнение:

(7.016)       Касательный портфель = MAX{(GHPR - (1 + RPR)) / SD},

где   МАХ{}= максимальное значение;

GHPR = геометрическое среднее HPR, т.е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;

SD = стандартное отклонение HPR, т. е. координата SD данного портфеля на эффективной границе; RFR = безрисковая ставка.