Решение систем линейных уравнений

С помощью элементарных преобразований мы получаем более простую, но эквивалентную первоначальной, матрицу. Элементарные преобразования производятся посредством построчных операций (мы опишем их ниже). Единичная матрица является квадратной матрицей коэффициентов, где все элементы равны нулю, кроме диагональной линии элементов, которая начинается в верхнем левом углу. Для матрицы коэффициентов «шесть на шесть» единичная матрица будет выглядеть следующим образом: 1 0 0 0 0 о

0 1  0 0 0 о

00100о 00010о

00001          о
0000о 1

Матрица, где число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей. Благодаря обобщенной форме задачи минимизации V для данного Е, мы всегда будем иметь дело с квадратными матрицами коэффициентов. Единичная матрица, полученная с помощью построчных операций, эквивалентна первоначальной матрице коэффициентов. Ответы для нашей системы уравнений можно получить из крайнего правого вектора-столбца.

Единица в первой строке единичной матрицы соответствует переменной X,, поэтому значение на пересечении крайнего правого столбца и первой строки будет ответом для X1 Таким же образом на пересечении крайнего правого столбца и второй строки содержится ответ для Х2 так как единица во второй строке соответствует Х2 Используя построчные операции, мы можем совершать элементарные преобразования в первоначальной матрице, пока не получим единичную матрицу.

Из единичной матрицы можно получить ответы для весов X1 ... Х>)—компонентов портфеля. Найденные веса дадут портфель с минимальной дисперсией V для данного уровня ожидаемой прибыли Е1.

Можно проводить три типа построчных операций:

1. Поменять местами любые две строки.

2. Умножить любую строку на ненулевую постоянную.

3. Любую строку умножить на ненулевую постоянную и прибавить к любой
другой строке.

С помощью этих трех операций мы попытаемся преобразовать исходную матрицу коэффициентов в единичную матрицу