Работа с нормальным распределением

При использовании нормального распределения часто требуется найти долю площади под кривой распределения в данной точке на кривой. На математическом языке это называется интегралом функции, задающей кривую. Таким же образом функция, которая задает кривую, является производной площади под кривой. Если у нас есть функция N(X), которая представляет процент площади под кривой в точке X, мы можем говорить, что производная этой функции N'(X) является функцией самой кривой в точке X.

Мы начнем с формулы самой кривой N' (X). Данная функция выглядит следующим образом:

(3.14)    N'(X) = 1 / (S * (2 * 3,1415926536) Л (1/2)) * * EXP (-((X - U) л 2) / (2 * S л 2)),

где   U = среднее значение данных; S =стандартное отклонение данных; Х = наблюдаемая точка данных; ЕХР () = экспоненциальная функция.

Эта формула даст нам значение для оси Y, или высоту кривой, при любом данном значении X.

Часто мы будем говорить о точке на кривой, ссылаясь на ее координату X, и будем смотреть, на сколько стандартных отклонений она удалена от среднего. Таким образом, точка данных, которая удалена на одно стандартное отклонение от среднего, считается смещенной на одну стандартную единицу (standard units) от среднего.

Более того, часто имеет смысл из всех точек данных вычесть среднее. При этом центр распределения сместится в начало координат. В этом случае точка данных, которая смещена на одно стандартное отклонение вправо от среднего, имеет значение 1 на оси X.

Если мы вычтем среднее из точек данных, а затем разделим полученные значения на стандартное отклонение точек данных, то преобразуем распределение в нормированное нормальное (standardized normal). Это нормальное распределение со средним, равным 0, и дисперсией, равной 1. Теперь N'(Z) даст нам значение на оси Y (высота кривой) для любого значения Z:

(3.15а)      N'(Z) = 1 / ((2 * 3,1415926536) Л (1/2)) * EXP(-(Z л 2/2)) = 0,398942 * EXP (-Z л 2/2)),

где       (3.16)Z = (X-U)/S

U = среднее значение данных;

S = стандартное отклонение данных; Х = наблюдаемая точка данных; ЕХР() = экспоненциальная функция.

Уравнение (3.16) дает нам число стандартных единиц, которым соответствует точка данных; другими словами, число стандартных отклонений, на которое точка данных смещена от среднего. Когда уравнение (3.16) равно 1, оно называется стандартным нормальным отклонением (standard normal deviate) от среднего значения.

Стандартное отклонение, или стандартная единица, иногда называется сигмой (sigma). Таким образом, когда говорят о событии, которое было «событием пяти сигма», то речь идет о событии, вероятность которого находится за пределами пяти стандартных отклонений.

Рисунок 3-7 показывает нормальную кривую, заданную предедущим уравнением. Отметьте, что высота стандартной нормальной кривой составляет 0,39894, поскольку из уравнения (3.15а) мы получаем:

(3.15a)   N'(Z) = 0,398942 * EXP(-(Z л 2/2)) N'(0) = 0,398942 * EXP(-(0 л 2/2)) N'(O) = 0,398942

Отметьте, что кривая непрерывна (в ней нет «разрывов»), когда она переходит из отрицательной области слева в положительную область справа. Отметьте также, что кривая симметрична: сторона справа от пика является зеркальным отражением стороны слева. Предположим, у нас есть группа данных, где среднее равно 11, а стандартное отклонение равно 20. Чтобы увидеть, где точка данных будет отображена на кривой, рассчитаем ее в стандартных единицах. Предположим, что рассматриваемая точка данных имеет значение -9. Чтобы рассчитать число стандартных единиц, мы сначала должны вычесть среднее из этой точки данных: -

9- 11 =-20

Затем надо разделить полученный результат на стандартное отклонение: -20/20=-1

Теперь мы можем сказать, что, когда точка данных равна -9, среднее равно 11, а стандартное отклонение составляет 20, число стандартных единиц равно -1. Другими словами, мы находимся на одно стандартное отклонение от пика кривой, и, так как это значение отрицательно, оно находится слева от пика. Чтобы увидеть, где это будет на самой кривой (то есть насколько высока кривая при одном стандартном отклонении слева от центра, или чему равно значение кривой на оси Y для значения -1 на оси X), надо подставить полученное значение в уравнение (3.15а):

N'(Z) = 0,398942 * EXP(-(Z Л 2/2))

= 0,398942 * 2,7182818285 л (-(-1 л 2/2))

= 0,398942 * 2,7182818285 л (-1/2)

= 0,398942 * 0,6065307

= 0,2419705705

Таким образом, высота кривой при Х=-1 составляет 0,2419705705. Функция N'(Z) также часто выражается как:

(3.156)      N'(Z) = EXP (-(Z Л 2/2)) / ((8 * ATN(l)) л (1/2)) = EXP(-(Z л 2/2)) / ((8 * 0,7853983) л (1/2))

= EXP(-(Z л 2/2)) / 2,506629,

где (3.16)     Z = (X-U)/S

и    ATN() = функция арктангенса; U = среднее значение данных; S = стандартное отклонение данных; Х = наблюдаемая точка данных; ЕХР() = экспоненциальная функция.

Не искушенные в статистике люди часто находят концепцию стандартного отклонения (или квадрата ее величины, дисперсии) трудной для представления.