проблема дробного f

Допустим, мы знаем среднее арифметическое HPR и среднее геометрическое HPR для данной системы. Мы можем определить стандартное отклонение HPR из формулы для расчета оценочного среднего геометрического:

EGM = (AHPR A 2 - SD л 2) л (1/2),

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR. Поэтому мы можем рассчитать стандартное отклонение SD следующим образом:

SD А 2 = AHPR А 2 - EGM А 2

Возвращаясь к нашей игре с броском монеты 2:1, где математическое ожидание 0,50 долларов и оптимальное f- ставка в 1 доллар на каждые 4 доллара на счете, мы получим среднее геометрическое  1,06066. Для определения среднего арифметического HPR можно использовать уравнение (2.05): AHPR=l + (MO/f$),

где   AHPR = среднее арифметическое HPR;

МО = арифметическое математическое ожидание в единицах;

f$= наибольший проигрыш/^

f = оптимальное f (от 0 до 1).

Таким образом, среднее арифметическое HPR равно:

AHPR =1+(0,5/(-1/-0,25)) =1+(0,5/4) =1+0,125 =1,125

Теперь, так как у нас есть AHPR и EGM, мы можем использовать уравнение (2.04) для определения оценочного стандартного отклонения HPR:

SD А 2 = AHPR А 2 - EGM А 2 =1,125 Л2- 1,06066 л62

= 1,265625-1,124999636     =0,140625364

Таким образом, SD л 2, то есть дисперсия HPR, равна 0,140625364. Извлекая квадратный корень из этой суммы, мы получаем стандартное отклонение HPR =0,140625364 л(1/2) =0,3750004853. Следует отметить, что это оценочное стандартное отклонение, так как при его расчете используется оценочное среднее геометрическое. Это не совсем точный расчет, но вполне приемлемый для наших целей. Предположим, мы хотим преобразовать значения для стандартного отклонения (или дисперсии), арифметического и среднего геометрического HPR, чтобы отражать торговлю не оптимальным f, а некоторой его частью. Эти преобразования даны далее:

FAHPR = (AHPR - 1) * FRAC + 1

(2.7)      FSD = SD * FRAC

(2.8)      FGHPR= (FAHPR Л 2 - FSD л 2) Ал(1/2),

где FRAC = используемая дробная часть оптимального f; АН PR= среднее арифметическое HPR при оптимальном f; SD = стандартное отклонение HPR при оптимальном f; FAHPR== среднее арифметическое HPR при дробном f; FSD = стандартное отклонение HPR при дробном f; FGHPR = среднее геометрическое HPR при дробном f.

Например, мы хотим посмотреть, какие значения приняли бы FAHPR, FGHPR и FSD в игре с броском монеты 2:1 при половине оптимального f (FRAC = 0,5). Мы знаем, что AHPR= 1,125 и SD = 0,3750004853. Таким образом:

(2.06)       FAHPR = (AHPR - 1) * FRAC + 1

=(1,125- 1)*0,5+ 1 =0,125* 0,5 + 1 = 0,0625 + 1 = 1,0625

(2.07) FSD = SD * FRAC =0,3750004853*0,5 = 0,1875002427

(2.08)       FGHPR = (FAHPR Л 2 - FSD л 2) л (1/2) = (1,0625 л 2 - 0,1875002427 л2) л (1/2)  = (1,12890625 - 0,03515634101) =1,093749909 л (1/2) = 1,04582499

л

(1/2)

Для оптимального f= 0,25 (1 ставка на каждые 4 доллара на счете) мы получаем значения 1,125, 1,06066 и 0,3750004853 для среднего арифметического, среднего геометрического и стандартного отклонения HPR соответственно. При дробном (0,5) f =0,125 (1 ставка на каждые 8 долларов на счете) мы получаем значения 1,0625, 1,04582499 и 0,1875002427 для среднего арифметического, среднего геометрического и стандартного отклонения HPR соответственно.