Дискретная цена

Например, время до истечения срока не задается непрерывной функцией. До истечения срока всегда остается целое число; то же верно и для цены базового инструмента. Если цена акции равна, например, 35, а минимальное изменение цены равно 1/8, то между 30 и 40 находится 81 возможное значение. Зная время, через которое мы собираемся продать опцион, можно рассчитать взвешенные по вероятности HPR для всех возможных цен на этот рыночный день. В нормальном распределении вероятности 99,73% всех результатов попадают в интервал трех стандартных отклонений от среднего, которое в нашем случае является текущей ценой базового инструмента.

Поэтому нам необходимо рассчитать HPR для определенного рыночного дня и каждой дискретной цены между - 3 и + 3 стандартными отклонениями. Можно использовать 4, 5, 6 или больше стандартных отклонений, но ответ от этого не станет значительно точнее. Не следует также сокращать ценовое окно до 2 или 1 стандартного отклонения. Выбор 3 стандартньк отклонений, конечно, не является твердым правилом, но в большинстве случаев оно приемлемо. Если мы используем модель Блэка-Шоулса или модель опционов на фьючерсы Блэка, то можно узнать, какому изменению цены базового инструмента U соответствует 1 стандартное отклонение:

(5.16)    Стандартное отклонение = U * EXP(V * (Т Л (1/2))),

где U = текущая цена базового инструмента;

V = годовая волатильность базового инструмента;

Т = доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор. когда опцион был приобретен;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

Отметьте, что стандартное отклонение является функцией времени, прошедшего с момента открытия позиции.

Для точки, которая на Х стандартных отклонений выше текущей цены базового инструмента, получаем:

(5.17а)      +Х стандартных отклонений = U * ЕХР(Х * (V * Т Л (1/2));

Для точки, которая на Х стандартных отклонений ниже текущей цены базового инструмента, получаем:

(5.176)      -X стандартных отклонений = U * ЕХР(-Х * (V * Т Л (1/2))),

где    U =текущая цена базового инструмента;

V = годовая волатильность базового инструмента;

Т =доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор, когда опцион был приобретен;

EXPQ = экспоненциальная функция;

Х = число стандартных отклонений от среднего, для которых вы хо тите определить вероятности.

Далее следует описание процедуры поиска оптимального f для данного опциона.

Шаг 1. Решите, закроете ли вы позицию по опциону в какой-то конкретный день. Если нет, тогда в дальнейших расчетах используйте дату истечения срока опциона.

Шаг 2. Определите, сколько дней вы будете удерживать позицию. Затем преобразуйте это число дней в долю года, выраженную десятичной дробью.

Шаг 3. Для дня из шага 1 рассчитайте точки, которые находятся между +3 и -3 стандартными отклонениями.

Шаг 4. Преобразуйте диапазоны цен из шага 3 в дискретные значения. Другими словами, используя приращения по 1 тику, определите все возможные цены диапазона, включая крайние значения.

Шаг 5. Для каждого из полученных результатов рассчитайте Z(T, U - Y) и Р(Т, U), то есть рассчитайте теоретическую цену опциона, а также вероятность того,

что базовый инструмент определенной цене.

к

рассматриваемым   датам   будет   равен

Шаг 6. После того, как вы выполните шаг 5, у вас будут все входные данные, необходимые для расчета взвешенного по вероятности HPR.

(5.14)       HPR(T, U) = (1 + f * (Z(T, U - Y) / S - 1)) Л P(T, U),

где f = тестируемое значение f; S = текущая цена опциона;

Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой модели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;

Р(Т, U) = 1-хвостая вероятность того, что цена базового инструмента равна U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно определить из любой формы распределения, которую пользователь посчитает подходящей;

Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.

Необходимо отметить, что форма распределения, используемого для Р(Т, U), не обязательно должна быть такой же, как и в модели ценообразования, применяемой для определения значений Z(T, U - Y). Например, вы используете модель фондовых опционов Блэка-Шоулса для определения значений Z(T, U - Y). Эта модель предполагает логарифмически нормальное распределение изменений цены, однако для определения соответствующего Р(Т, U) вы можете использовать другую форму распределения.

Шаг 7. Теперь мы можем начать поиск оптимального f с помощью метода итераций, перебирая все возможные значения f между 0 и 1, или с помощью метода параболической интерполяции, или любого другого одномерного алгоритма поиска. Подставляя тестируемые значения f в HPR (у вас уже есть HPR для каждого из возможных приращений цены между + 3 и -3 стандартными отклонениями на дату истечения срока или указанную дату выхода), вы можете найти среднее геометрическое для данного тестируемого значения f. Для этого надо перемножить все HPR, и полученное произведение возвести в степень единицы, деленной на сумма вероятностей:

+3SB                    +3SD

(5.18а)      G(f,T)={ П HPR(T,U)r(l/ 2 P(T,U)),

U=-iSD                 U=-3SD

поэтому

+3SD

(5.186)     G(f,T) = { П (l + f*(Z(T,U-Y)/S-l))AP(T,U)}A

U=-3SD

+3SD

Л(1/ X P(T,U)),

U=-3SD

где G(f, T) = среднее геометрическое HPR для данного тестируемого значения f; f = тестируемое значение f;

S = текущая цена опциона;

Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой модели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;

Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно определить из любой формы распределения, которую пользователь посчитает подходящей;

Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.

Значение f, которое в результате даст наибольшее среднее геометрическое, является оптимальным.