ожидаемые прибыли и ковариации

Возьмем ожидаемые прибыли и ковариации из уже известной таблицы ковариаций и подставим коэффициенты в обобщенную форму. Таким образом из коэффициентов обобщенной формы можно создать матрицу. В случае четырех компонентов (N = 4) мы получим 6 рядов (N + 2):

Отметьте, что мы получили 6 столбцов коэффициентов. Если добавить столбец свободных членов к матрице коэффициентов, мы получим расширенную матрицу.

Заметьте, что коэффициенты в матрице соответствуют нашей обобщенной форме:

X, * U, + X * U. + X * U, + X * U = Е

1     1       2        2        3        3        4        4

x1 + x2+x3+x4=i

X, * COV, , + Xj * COV, 2 + Xj * COV, з + x4 * COV, 4 + + 0,5*L,*U, + 0,5*L2=0

X, * COV2 , + X, * cov2 2 + x3 * cov2 з + x4 * cov2 4 +

+ 0,5*L,*U2 + 0,5*L2 = 0 X, * COV3 , + X, * COV3 2 + X3 * COV3 3 + X4 * COV3 4 + + 0,5*L,.U3 +0,5*L2=0

X, * cov4, + X, * cov4 2 + x3 * cov4 3 + X * COV4 4 +

+ 0,5*L,*U4 +0,5*L2=0

Матрица является удобным представлением этих уравнений. Чтобы решить систему уравнений, необходимо задать Е. Ответы, полученные при решении этой системы уравнений, дадут оптимальные веса, минимизирующие дисперсию прибыли всего портфеля для выбранного уровня Е.

Допустим, мы хотим найти решение для Е = 0,14, что соответствует прибыли в 14%. Подставив в матрицу 0,14 для Е и нули для переменных L1 и L2 в первых двух строках, мы получим следующую матрицу:

Необходимо найти N + 2 неизвестных с помощью N + 2 уравнений.

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц-строк.

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое является суммой определенного количества элементов. Многочлен с одним элементом называется одночленом, с двумя элементами — двучленом, с тремя — трехчленом и т.д. Выражение 4 * А Л 3 + А л 2 +А+2 является многочленом, имеющим четыре члена. Члены отделены знаком (+).

Многочлены имеют различные степени. Степень многочлена определяется значением наибольшей степени любого из элементов. Степенью элемента является сумма показателей переменных, содержащихся в элементе.

Показанное выше выражение является многочленом третьей степени, так как элемент 4 * АЛ 3 имеет третью степень, и это наивысшая степень среди всех элементов многочлена. Если бы элемент был равен 4*АЛЗ*ВЛ62*С, мы бы получили многочлен шестой степени, так как сумма показателей переменных (3+2+1) равна 6. Многочлен первой степени называется также линейным уравнением и графически задается прямой линией. Многочлен второй степени называется квадратным уравнением и на графике представляет собой параболу. Многочлены третьей, четвертой и пятой степени называются соответственно кубическим уравнением, уравнением четвертой степени, уравнением пятой степени и т.д.

Графики многочленов третьей степени и выше довольно сложны. Многочлены могут иметь любое число элементов и любую степень, мы будем работать только с линейными уравнениями, т.е. многочленами первой степени. Решить систему линейных уравнений можно с помощью процедуры Гаусса-Жордана, или, что то же самое, метода гауссовского исключения. Чтобы использовать этот метод, мы должны сначала создать расширенную матрицу, объединив матрицу коэффициентов и столбец свободных членов. Затем следует произвести элементарные преобразования для получения единичной матрицы.