Указанное равенство носит название паритета опционов пут и
колл.
Пример. S = 42 долл., Х=40долл., r — 10%, срок контрактов —
3 месяца, се =3,5 долл. Определить стоимость pe.
Она равна:
се + Xe-rT = 3,5 долл. + 40 долл. е-0,1?0,25 = 42,5 долл.
ре = 42,51 долл. – 42 долл. = 0,51 долл.
Предположим теперь, что цена ре завышена и составляет не 0,51
долл., а 1 долл. В этом случае открывается возможность совершить
следующую арбитражную операцию. Арбитражер покупает европейский опцион колл и продает европейский опцион пут и акцию,
заняв ее у брокера. В результате он получает сумму:
-3,5 долл. + 1 долл. + 42 долл. = 39,5 долл.
и инвестируетее под ставку без риска на три месяца:
39,5 долл. е0,1?0,25 = 40,5 долл.
Если по окончании срока контрактов Р> 40 долл., то арбитражер
исполнит опцион колл, то есть купит акцию за 40 долл. В этом
случае его прибыль от данной операции составит:
40,5 долл. - 40 долл. = 0,5 долл.
Если Р < 40 долл., то будет исполнен опцион пут. Арбитражер
купит у контрагента акцию за 40 долл. и получит прибыль от
операции в размере:
40,5 долл. — 40 долл. = 0,5 долл.
Допустим теперь, что цена опциона пут занижена и равна 0,2
долл. Тогда инвестор продает опцион колл и покупает опцион пут
и акцию. Для этого он занимает под ставку без риска сумму в
размере:
0,2 долл. + 42 долл.-3,5 долл. = 38,7 долл.
Через три месяца он должен вернуть кредитору сумму, равную:
38 долл.е0,1?0,25 = 39,68 долл.
При Р < 40 долл. арбитражер исполняет опцион пут и получает
прибыль:
40 долл. -39,68 долл. = 0,32 долл.
При Р > 40 долл. контрагент исполняет опцион колл, то есть
арбитражер продает ему акцию за 40 долл. Вновь его прибыль
составит:
40 долл.-39,68 долл. = 0,32 долл.
б) взаимосвязь между премиями американских опционов
пут и колл для акций, не выплачивающих дивиденды
Паритет существует только для европейских опционов пут и
колл. В то же время можно установить определенную взаимосвязь
между американскими опционами пут и колл.
Выше мы доказали, что ра >ре и ре +S = се+Хе-rT.
Следовательно,
ра > се + Х е-rT - S
поскольку са = се , то
ра > са + Х е-rT – S или
са - ра < S – X е-rT
Теперь сравним два портфеля — А и Б. Портфель А состоит из
одного американского опциона пут и одной акции. В портфель Б
входит один европейский опцион колл и облигация с нулевым
купоном, равная X, эмитированная под процент er на период Т.
Опционы имеют одинаковую цену исполнения и срок контрактов
равен Т. Предположим, что опцион пут не исполняется раньше
срока истечения контракта. Если в конце периода ТР > X, опцион
пут не исполняется, и портфель А стоит Р. Если Р < X, то опцион
исполняется и портфель равен X.
Если Р >X, исполняется опцион колл портфель Б равен
(P -Х)+ХеrT . При Р < X портфель равен ХеrT Таким образом в
обоих случаях портфель Б стоит больше портфеля А.
Предположим, что имеет место раннее (время t) исполнение
американского опциона пут. Это означает, что Р < Х и портфель А
равен X. Портфель Б в этот же момент стоит как минимум, если
предположить, что са = 0, Xert. Таким образом, портфель Б вновь
стоит больше портфеля А. Вышесказанное наглядно представлено
в таблице 28.
Таблица 28
Стоимость портфеля
в конце периода Т
в начале
периода Т
при раннем
исполнении
опциона Р<Х Р>Х
Портфель А VA=pa+S VA=(X-P)+P VA=(X-P)+P VA=0+P
Портфель Б VБ=се+Х VБ = O+XerT VБ = 0+ХеrТ VБ = (Р-Х)+ХеrТ
VБ>VA VБ>VA VБ>VA
В итоге правомерно записать, что
се + Х > ра + S
Поскольку cе = са, то
са + Х > ра + S или са – ра > S - X
Выше мы записали, что
са - ра < S – X е-rT
Отсюда следует: S – X < са - ра < S – X е-rT
Пример. Для акций, не выплачивающих дивиденды, са = 2 долл.,
Х= 35 долл., S= 33,5 долл., срок действия контракта — 3 месяца, r =
10%. Определить премию опциона пут для данных условий.
33,5 долл. - 35 долл. < са -ра < 33,5 долл. - 35 долл. е-0,1х0,25
-1,5 долл. < сa -рa < 0,64 долл.
1,5 долл. > ра -са > 0,64 долл.
3,5 долл. >ра> 2,64 долл.
Таким образом, цена американского опциона пут должна быть
не выше 3,5 долл. и не ниже 2,64 долл.
