а) Определение премии опционов на акции, не выплачивающие дивиденды. Логнормальное распределение. Стандартное отклонение
В начале 70-х годов Ф. Блэк и М. Сколес разработали модель
оценки премии европейских опционов колл и пут для акций, не
выплачивающих дивиденды. Блэк и Сколес вывели формулы, основываясь на концепции формирования портфеля без риска. Они
рассмотрели портфель из акций и опциона. При оценке премии
опциона модель учитывает следующие параметры: цену акции,
цену исполнения, ставку без риска, стандартное отклонение курса
акций, время до истечения контракта. В то же время она не принимает во внимание ожидаемый доход на акции. Данный подход
вытекает из принципа формирования портфеля нейтрального к
риску. В такой ситуации ожидаемый доход на все бумаги является
одинаковым и равняется ставке без риска. Именно она используется для оценки дисконтированной стоимости будущих доходов.
Опционный контракт — это срочный контракт, поэтому величина премии должна уловить поведение курса акции. В качестве
вероятностного распределения цены акции в модели принято логнормальное распределение. Рассмотрим его более подробно.
ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Изменение цены актива в будущем — это случайный процесс,
который в принципе должен описываться нормальным распределением. В то же время для целей вероятностной оценки стоимости
актива в теории пользуются не нормальным, а логнормальным
распределением. Это обусловлено следующими причинами. Вопервых, нормальное распределение (рис. 63) является симметричной кривой относительно ее центральной оси и может иметь как
положительные, так и отрицательные значения. Однако, цена актива, лежащего в основе опционного контракта, не может быть
отрицательной. Во-вторых, нормальное распределение говорит о
равной вероятности для переменной пойти вверх или вниз. В то же
время на практике, например, присутствует инфляция, которая
оказывает давление на цены в сторону их повышения. В связи с
этим в моделях определения цены опциона пользуются логнормальным распределением. Кривая логнормального распределения
всегда положительна и имеет правостороннюю скошенность, то
есть она указывает на большую вероятность цены пойти вверх
(рис. 64). Поэтому, если, допустим, цена актива составляет 50
долл., то логнормальное распределение говорит, что опцион пут с
ценой исполнения 45 долл. должен стоить меньше опциона колл
с ценой исполнения 55 долл., в то время как в соответствии с
нормальным распределением они должны были бы иметь одинаковую цену.
