БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ,
НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ
Весь период действия опционного контракта разбивается наряд
интервалов времени, в течение каждого из которых курс акции S
может пойти вверх с вероятностью p или вниз с вероятностью 1-р,
как показано на рис. 56. В конце периода акция соответственно
стоит Su или Sd, где и — процент прироста курсовой стоимости
акций, поэтому и > 7, a d — процент падения курсовой стоимости,
то есть d < 1.
Рассматривая динамику курса акций на каждом временном интервале, можно построить дерево распределения цены акции для
всего периода действия опционного контракта. Данная картина
представлена на рис. 57. Начальная цена акции равна S. За первый
период ?t1 ее курс может составить Su или Sd. За второй период
?t2 — соответственно Su2, Sd2 или Sud и т.д. для следующих
периодов. В целях упрощения модели, поскольку период действия
опционного контракта делится на большое число интервалов, делается допущение, что u=1/d , поэтому значения курса акций на
дереве распределения можно представить следующим образом (см.
рис. 58).
Рис.5б. Динамика курса акции для одного периода биномальной модели.
Биноминальная модель основывается на концепции формирования портфеля без риска. Поэтому для дисконтирования принимается процент, равный ставке без риска для инвестиций,
соответствующих времени действии опционного контракта. Для
того, чтобы упростить модель, вместо указанной выше ставки используем эквивалентную ей ставку непрерывно начисляемого
процента.
В условиях отсутствия риска ожидаемый доход на акцию за
период At должен составить Se г?t , где r — непрерывно начисляемая ставка без риска. В то же время, исходя из значения математического ожидания, он должен быть равен:
Процент прироста или падения курсовой стоимости акции зависит от времени, в течение которого наблюдается изменение
курса бумаги, и ее стандартного отклонения. Поэтому можно записать, что
u = e? ?t ;d = e?? ?t
Формула (42) позволяет определить вероятность повышения
или понижения курса акций.
Пример. Курс акции в начале периода равен 40 долл., стандартное отклонение цены акции 35%, непрерывно начисляемая ставка
без риска 10%. Определить вероятность повышения и понижения
курса акций через месяц.
Таким образом, вероятность повышения курса акции через один
месяц составляет 0,5163 и понижения 0,4837.
После того как мы рассчитали значения u и d, можно определить
значение курса акции для любого периода времени. Предположим, что инвестора интересуют возможные значения курса акций
последовательно через один, два и три месяца, то есть для каждой
точки пересечения ветвей дерева, представленного на рис. 58. Для
точки Sd он равен Sd= 40 долл. х 0,9039 = 36,16 долл.
Для точки Sd2 Sd2 = 40 долл. х (0,9039)2 = 32,68 долл.
Для точки Su Su = 40 долл. х 1,1063 = 44,25 долл.
и т.д.
Значения курса акций представлены на дереве распределения
(см. рис. 59).
После того как мы получили значения вероятности повышения
я понижения курса акции и значения цены акции в конце каждого
месяца, можно перейти к определению величины премии опциона.
