Чтобы определить нижнюю границу премии европейского опциона пут, рассмотрим два портфеля — А и Б. Портфель А состоит
из облигации с нулевым купоном, равной Хе-rT и суммы денег D.
В портфель Б входит один европейский опцион пут и одна акция
При Р?X портфель Б равен P + D rT. При Р < Х он стоит X+ D rT.
Портфель А в обоих случаях равен X + D rT (cм. табл. 27).
Таблица 27
Стоимость портфеля
в конце периода Т
в начале
периода Т Р?Х Р<Х
Портфель А VA =Xe-rT+D VA=X+D rT VA=X + D rT
VБ = 0+Р + D rТ VБ=(X-P)+P + D rT
Портфель Б VБ=pe+S
VБ>VA VБ =VA
Следовательно, стоимость портфеля Б в конце периода Т больше или равна стоимости портфеля А. Поэтому в начале периода Т
портфель Б должен стоить не меньше портфеля А, то есть:
Таким образом, премия европейского опциона пут должна быть
не меньше разности суммы дисконтированных стоимостей цены
исполнения и дивиденда, который планируется выплатить, и цены
спот акции. Поскольку американский опцион предоставляет инвестору больший диапазон возможностей, чем европейский, то
данная формула верна и для него.
Формула (39) показывает нам еще одну переменную, которая
влияет на величину премии опциона пут, а именно, стоимость
опциона возрастает, если в период действия контракта по акциям
выплачивается дивиденд: стоимость опциона тем больше, чем
больше размер дивиденда.
в) Раннее исполнение американского опциона колл
Как было показано выше, раннее исполнение американского
опциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды, не является оптимальной стратегией. Однако нельзя настаивать на этом
утверждении, когда в основе лежат акции, выплачивающие дивиденды. Как известно, выплата дивидендов приводит к падению
курса акций, а следовательно, и прибыли от исполнения опциона.
Поэтому исполнение американского опциона колл перед датой
учета может явиться наиболее прибыльной стратегией.
Предположим, имеется опцион колл, в основе которого лежат
акции, выплачивающие дивиденды Div1, Div2, Div3..., Divn на протяжении срока действия контракта соответственно в моменты t1,
t2, t3,.., tn. Если инвестор исполнит опцион непосредственно перед
датой учета выплаты последнего дивиденда (момент tn), он получит
сумму, равную:
Если не исполнит опцион, то после выплаты дивиденда цена
акции упадет до:
а нижняя граница цены опциона составит:
то опцион не выгодно исполнять в момент tn. В этом случае его
выгоднее продать.
Если P Div Xe ( ) P X n
то его скорее всего следует исполнить, особенно при высоком
значении Р.
Проведем аналогичные рассуждения для момента tn-1 и Divn-1.
Если инвестор исполняет опцион непосредственно перед датой
учета предпоследнего дивиденда, он получает сумму:
Если опцион не исполняется, то цена акции после даты учета
падает до уровня:
Следующий наиболее оптимальный срок исполнения опциона
может наступить только в момент tn. Поэтому нижняя граница
цены опциона в момент tn-1 равна:
его оптимально исполнить в данный момент. Если провести
аналогичные рассуждения для любых значений ti при i < n, то мы
придем к таким же результатам.
Пример. Имеется американский опцион колл, выписанный на
восемь месяцев. S= 50 долл., Х= 48 долл., r = 10%, Div2 = 0,8 долл.,
Div2 = 0,8 долл. Первый дивиденд выплачивается через 3 месяца,
второй — через 6 месяцев. Необходимо определить, выгодно ли
исполнить опцион перед первой или второй датой учета.
Для первого дивиденда:
X [1? e?r(tntn ?1)]= 48 долл. [1? e?0,1(0,5?0,25)]= 1,185 долл.
Для второго дивиденда:
X [1 ? e?r(T ?t2)]= 48 долл. [1 ? e?0 ,1(0 ,667?0 ,5)]= 0,7855 долл.
X [1? e?r(T ?t2)]= 48 долл. . [1? e?0,1(0,667?0,5)]= 0,7855долл.
Поскольку на дату учета второго дивиденда
0,8 > 0,7855
то оптимально исполнить опцион непосредственно перед этой
датой.
