Нижняя граница премии европейского опциона пут по акциям,
не выплачивающим дивиденд, равна:
Xe-rt-S
Для доказательства данного утверждения рассмотрим два портфеля.
Портфель А состоит из одного европейского опциона пут и
одной акции. В портфель Б входит облигация с нулевым купоном
стоимостью Хе-rТ.
Если в конце периода ТР < X, то держатель исполнит опцион, и
портфель А будет стоить X. Если Р ? X, то опцион не исполнится и
стоимость портфеля равна Р. Таким образом, в момент T портфель
А стоит или Р или X. Облигация с нулевым купоном в конце
периода гасится по номиналу, который равен X, и портфель Б стоит
X. Поэтому портфель А будет всегда стоить столько же или больше,
чем портфель Б (см. таблицу 23).
Таблица 23
Стоимость портфеля в конце
периода Т
Стоимость
портфеля в
начале
периода Т Р?Х Р<Х
Портфель А VA=pe+S VA = 0+Р VA = (X-P)+P
Портфель Б VБ = Xe-rT VБ = Х VБ = Х
VA>VБ VA=VБ
При отсутствии возможности совершения арбитражных операций портфель А и в начале периода T должен стоить не меньше
портфеля Б, поэтому:
rT
pe S X + ? ? или
p Xe rT S
e ? ? ? (37)
Таким образом, европейский опцион пут стоит не меньше, чем
разность между приведенной стоимостью цены исполнения и ценой спот акции.
Пример. X = 52 долл., S = 50 долл., r = 10%, T=3 месяца.
Необходимо определить нижнюю границу цены опциона пут.
Она равна:
52 долл.e?0,1?0,25 ? 50 дол. = 0,716 долл.
Предположим, что премия равна 0,6 долл., то есть меньше рассчитанного минимального уровня. В этом случае инвестор совершит арбитражную операцию: займет 50,6 долл. на три месяца и
купит опцион и акцию. Через три месяца он должен будет вернуть:
50,6 долл. e0,1?0,25 = 51,88 долл.
Если к этому времени Р < X, то арбитражер исполнит опцион,
продаст акцию за 52 долл. и получит прибыль:
52 долл. - 51,88 долл. = 0,22 долл.
Если Р? X, то опцион не исполняется, однако акция продается
уже по более высокой цене, например, за 53 долл. В итоге прибыль
арбитражера после выплаты ссуды составит:
53 долл. - 51,88 долл. = 1,22 долл.
Формула (37) показывает нам переменные, от которых зависит
размер премии опциона пут, а именно, премия опциона пут тем
больше, чем больше цена исполнения (X), меньше курс акций спот
(S), меньше ставка без риска (r), меньше период времени до истечения контракта (7) (зависимость премии европейского опциона
пут от последней переменной несколько сложнее, чем показано
выше, и будет уточнена при дальнейшем рассмотрении материала).
