Верхняя граница премии американского и европейского опциона пут
После того как мы определили величину премии опциона пут
перед истечением контракта, установим общую верхнюю границу
его стоимости.
Цена американского опциона пут в любой момент времени дей-
ствия контракта не должна быть больше цены исполнения, то есть:
ра ? Х
где рa — цена американского опциона пут. В противном случае
инвестор может получить прибыль без всякого риска.
Пример. Американский опцион пут стоит 50 долл., цена испол-
нения — 45 долл.
В этом случае инвестор продает опцион за 50 долл. При исполнении опциона он покупает акцию за 45 долл. и получает прибыль
в размере 5 долл.
К моменту истечения срока контракта европейский опцион пут
должен стоить не больше цены исполнения. Поэтому в момент
приобретения опциона он должен стоить не больше приведенной
стоимости цены исполнения:
rT
pe Xe? ?
где ре — цена европейского опциона пут;
Т — время до истечения контракта;
r — непрерывно начисляемая ставка без риска.
В противном случае инвестор может получить доход за счет
арбитражной операции, выписав опцион и разместив премию под
процент без риска.
д) Нижняя граница премии европейского опциона колл
Нижняя граница премии европейского опциона колл на акции,
не выплачивающие дивиденды, составляет:
S-Xe-rT
Данное утверждение можно доказать следующим образом.
Предположим, имеется два портфеля. Портфель А состоит из европейского опциона колл с ценой исполнения X и облигации с
нулевым купоном, которая не несет риск. В момент погашения
облигации владельцу выплачивается ее номинал, равный X. При
формировании портфеля облигация стоит X е-rT . В портфель Б
входит одна акция.
Через время T стоимость облигации возрастет до X. Если в этот
момент цена акции Р будет больше X, инвестор исполнит опцион,
и цена портфеля А составит Р. Если Р? X, то опцион не исполняется и стоимость портфеля равна X. Следовательно, к моменту
истечения периода T портфель А принимает максимальные значения, которые равны Р или X.
Портфель Б по завершении периода T равен Р. Поэтому в этот
момент портфель А всегда стоит столько же или больше, чем портфель Б. Приведенные рассуждения наглядно представлены в таблице 22.
Таблица 22
Стоимость портфеля в конце
Стоимость портфеля в начале периода Т
периода Т
Р?Х Р>Х
Портфель А Va = ce+Xe-rT VA = 0+X VБ = (Р-Х)+Х
Портфель Б VБ = S VБ = Р VБ = Р
VA>VБ VA = VБ
V — стоимость портфеля;
се — стоимость европейского опциона колл.
Вышесказанное означает, что в начале периода Т портфель А
также должен стоить столько же или больше, чем портфель Б, то
есть:
c Xe rT S
e + ? ? , поэтому
rT
e c ? S ? Xe? (36)
Таким образом, цена европейского опциона колл не может быть
меньше цены спот акции минус дисконтированная стоимость
цены исполнения.
Пример. Цена спот акции равна 40 долл. Цена исполнения — 37
долл., непрерывно начисляемая ставка без риска — 10%, опцион
покупается на один год. Необходимо определить нижнюю границу
премии опциона колл.
Она равна:
S -Хе-rТ= 40 долл. -37 е-0,1 долл. = 6,52 долл.
Предположим, что премия равна 6 долл., то есть меньше рассчитанного минимального уровня. В этом случае арбитражер может
совершить арбитражную операцию. Он купит опцион, займет акцию у брокера, продаст ее и в результате такой операции получит
средства в размере:
40 долл. - 6 долл. = 34 долл.
Вкладчик инвестирует их под 10% на год и получит сумму:
34 e0,1= 37,58 долл.
Если по истечении срока контракта цена акций превысит 37
долл., то арбитражер исполнит опцион, приобретет акцию, вернет
ее брокеру, и его прибыль составит:
37,58 долл. - 37 долл. = 0,58 долл.
Если цена будет меньше 37 долл., то он не исполнит опцион, а
купит акцию на рынке по более дешевой цене, например, за 35
долл. Тогда его прибыль составит:
37,58 долл. — 35 долл. = 2,58 долл.
Формула (36) показывает нам переменные, от которых зависит
размер премии опциона колл, а именно: премия опциона колл тем
больше, чем выше значение курса акций спот (S), больше период
времени до истечения контракта (T), больше ставка без риска (г) и
меньше цена исполнения (X).
