Приведем более строгое доказательство данных формул. Допустим, имеется два портфеля. Портфель А состоит из длинного
форвардного контракта на одну единицу серебра и суммы денег,
равной Ке-rT . Портфель Б состоит из одной единицы серебра S и
приведенной стоимости суммы, которую инвестор должен заплатить в конце периода Т за хранение и страховку товара. К концу
периода 7 портфель А будет состоять из одной единицы серебра,
поскольку сумма K используется для оплаты товара по контракту.
Портфель Б также состоит из одной единицы серебра. Поскольку
в конце периода стоимость портфелей равна, то она должна быть
равна и в начале периода Т, то есть
S + U = f + Ke-rT
Откуда
f = (S+U) – Ke-rT
Поскольку в момент открытия позиции f= 0, а цена поставки
равна форвардной цене, то
S+U =F e-rT (20)
или
F = (S+U) erT
Если складские расходы и страховка в любой момент времени
пропорциональны цене товара, то формула (20) принимает вид
SeuT =- F e-rT
где и — расходы на хранение и страховку товара какие прерывно
начисляемый процент от его стоимости в расчете на год.
Тогда можно записать, что
F = e(r+u)T (21)
Таким образом, если F Sе(r+и)T, F > (S+U)еrT , то возникает возможность
совершить арбитражную операцию. В первом случае инвестор
продаст товар и купит контракт, во втором случае продаст контракт
и купит товар.
б) Форвардная цена товаров, приобретаемых
с целью потребления
Форвардная цена товаров, которые приобретаются с целью потребления, определяется таким же образом, как и в рассмотренных
выше примерах. В то же время для данных товаров требуется некоторое уточнение в отношении арбитражных стратегий. Поскольку
товар приобретается для потребления, то лицо, располагающее
данным товаром, в случае, когда F (S+U)еrT, вряд ли будет
расположено к его продаже и покупке форвардного контракта.
Соответственно, такое лицо не будет реагировать на возможность
арбитража при F > (S+U)еrT.
Поэтому можно сказать, что для таких товаров должно выполняться соотношение F<(S+U)еrT . Владельцы товара не реагируют
на возникновение арбитражных возможностей только в том случае, если они получают определенные преимущества от владения
этим товаром, например, это позволяет им поддерживать непрерывный производственный процесс. В связи с этим для такого
случая можно записать следующее уравнение:
FeyT = (S +U)erT (22)
или соответственно
FeyT = Se(u+r)T (23)
где y — полезность (доходность), которую инвестор получает от
владения товаром. Чем выше для него значение у, тем в большей
степени должны возрасти цены на товар, чтобы это стимулировало
его совершить арбитражную операцию.
