Как и в предыдущих примерах, инвестор
имеет две альтернативы. I. Купить акцию сегодня и получить на
нее через три месяца дивиденд. II. Заключить сегодня форвардный
контракт на приобретение акции через три месяца, инвестировать
на этот период под ставку без риска дисконтированную стоимость
форвардной цены и дисконтированную стоимость суммы, эквивалентную величине дивиденда, выплачиваемого на акции. Согласно первой стратегии в начале трехмесячного периода
инвестируется 50 руб. В соответствии со второй стратегией инвестируется сумма, равная:
Fe-0,1?0,25+(50e 0.08?0.25-50)e -0,08ч0,25 руб.
или
Fe-0,1?0,25 +50(1-e-0,08?0,25)руб.
Суммы, инвестируемые в обоих случаях, должны быть равны,
иначе возникнет возможность совершить арбитражную операцию,
поэтому
50 руб. = Fe -0.l?0.25 + 50 (1 - e-0.08?0.25) руб.
F= 50,25 руб.
Таким образом, если форвардная цена будет больше 50,25 руб.,
то инвестор продаст контракт и купит акцию. Если форвардная
цена меньше 50,25 руб., то инвестор продаст акцию и купит контракт. Запишем наши рассуждения в общей форме и выведем формулу для определения форвардной цены. В соответствии с первой
стратегией вкладчик инвестирует цену спот акции, то есть S. Согласно второй стратегии инвестируется величина
Fe-rT + S-Se-qT
Обе величины должны быть равны, то есть
S = Fe-rT + S-Se-qT
Откуда
Fe-rT = Se-qT
или
F=Se(r-q)T (9)
Предположим теперь, что через некоторое время после его заключения контракт продается на вторичном рынке. Поскольку на
рынке возникла уже новая форвардная цена, то для реализации
второй стратегии инвестор должен заплатить за контракт некоторую сумму f. В итоге должно соблюдаться равенство:
S = Ke-rt + S-Se-qt+f
где t — время от момента покупки до истечения контракта.
Отсюда
f=Se-qt-Ke-rt (10)
Как мы определили, форвардная цена для момента t равна:
F=Se(r-q)t (11)
Подставив значение S из формулы (11) в формулу (10), получаем
f=Fe-(r-q)te-qt-Ke-rt
или
f=(F-K)e-rt (12)
Вернемся теперь к нашему примеру и определим стоимость
форвардного контракта, если он продается за два месяца до его
истечения, и цена спот акции в этот момент равна 52 руб. В соответствии с формулой получаем:
52 руб. е-0.08?0.1667 -50,25 руб. е-0.1?0.1667 = 1,89 руб.
Приведем теперь более строгое доказательство определения
форвардной цены и цены форвардного контракта. Предположим,
имеется два портфеля. В портфель А входит длинный форвардный
контракт на акцию, непрерывно начисляемая ставка дивиденда
которой равна q, и сумма дисконтированной стоимости цены поставки Ке-rT . В портфель Б входит акция на сумму Se-qT .
По завершении периода T портфель А будет состоять из одной
акции, так как сумма К используется для ее приобретения по
форвардному контракту. Портфель Б также состоит из одной акции, поскольку
Se-qTeqT=S
В конце периода Г стоимость портфелей равна, следовательно,
равна она и в начале периода Т. Отсюда
f+Ke-rT=Se-qT
Поэтому
f=Se-qT-Ke-rT (13)
В момент заключения контракта цена его равна нулю, а цена
поставки равна форвардной цене, поэтому можно записать, что
Fe-rT=Se-qT
или
F=Se(r-q)T (14)
Произведем подстановку значения S из формулы (14) в формулу
(13) и получим
f=(F-K)e-rT (15)
