Докажем выведенные выше формулы в более общей форме.
Предположим, имеется два портфеля А и Б. Портфель А состоит
из одного длинного форвардного контракта, который стоит f и
суммы денег, равной приведенной стоимости цены поставки акции, то есть Ке -rT , где К — цена поставки. Портфель Б состоит из
одной акции, цена спот которой равна S. По прошествии времени
Т портфель Б будет состоять из одной акции. В портфель А также
войдет одна акция, поскольку величина Ке-rT за период времени Т
возрастет до К. Данная сумма денег используется для приобретения акции по форвардному контракту. Таким образом, стоимость
портфелей А и Б равна в конце периода Т. Следовательно, в начале
периода Т их стоимость также равна, так как при нарушении
данного равенства возникает возможность совершить арбитражную операцию. Поэтому можно записать, что
f+Ke-rT=S
или
f=S-Ke-rT
Поскольку в момент заключения контракта f=0, a K=F, где F —
форвардная цена, то
S = Fe-rT или
f=(F-K)e-rT (4)
б) Форвардная цена и цена форвардного контракта на активы,
выплачивающие доходы
Определим форвардную цену и цену форвардного контракта на
активы, выплачивающие известный доход в течение действия
контракта. В качестве примера могут служить акции или купонные
облигации.
Пример. Цена спот акции равна 50 руб. Через три и шесть месяцев на нее выплачиваются дивиденты по 5 руб. Непрерывно начисляемая ставка без риска на три месяца — 8 %, на шесть месяцев —
10%. Необходимо определить форвардную цену и цену форвард-
ного контракта, исполнение которого наступит через шесть месяцев. Инвестор имеет две альтернативы: приобрести акцию сейчас
или через полгода, купив сегодня форвардный контракт. Если он
выберет первую стратегию, то получит два дивидента и будет располагать акцией. Чтобы получить точно такой же результат по
второй стратегии, он должен инвестировать сегодня приведенную
стоимость цены поставки и двух дивидентов и купить форвардный
контракт: таким образом, цена спот акции сегодня должна равняться сумме приведенных стоимостей цены поставки и дивидентов, т.е.:
50 руб. = 5 руб. e-0.08х0.25 + 5 руб. e-0.1х0,5 + Fe-0,1x0,5
Откуда F = 42,41 руб. Таким образом,
